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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Préparer la Première
Géométrie
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1
Soit (\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points \mathrm{A}(1\:; 2), \mathrm{B}(3\:; 1) et \mathrm{C}(-2 ; 3).
1. Calculer la longueur \text{AB} arrondie au dixième.
2. Faire une figure avec les données de l'énoncé puis :
2. Faire une figure avec les données de l'énoncé puis :
- construire le point \text{C}', image du point \text{C} par la translation de vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} ;
- placer le point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:;
- tracer la droite d de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{AB}} passant par \text{O.}
GeoGebra
3. Citer un second vecteur directeur de la droite d et lire ses coordonnées.
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite d.
5. Démontrer que la droite d' de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{AB}} passant par \text{C}' est parallèle à d.
6. Déterminer l'équation réduite de la droite d'.
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite d.
5. Démontrer que la droite d' de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{AB}} passant par \text{C}' est parallèle à d.
6. Déterminer l'équation réduite de la droite d'.
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2
Soit (\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points \mathrm{A}(0\:; 1), \mathrm{B}(3\:; 0), \mathrm{C}(2\:; 3) et \mathrm{D}(5\:; 2).
1. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
2. Calculer les coordonnées des points \text{E} et \text{F,} respectivement milieux des segments [\mathrm{AD}] et [\mathrm{CB}].
3. a. Déterminer la nature du quadrilatère \text{ABDC.} Justifier la réponse.
b. En déduire les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{CD}} sans calcul. Justifier la réponse.
c. En déduire une équation cartésienne de (\mathrm{CD}).
2. Calculer les coordonnées des points \text{E} et \text{F,} respectivement milieux des segments [\mathrm{AD}] et [\mathrm{CB}].
3. a. Déterminer la nature du quadrilatère \text{ABDC.} Justifier la réponse.
b. En déduire les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{CD}} sans calcul. Justifier la réponse.
c. En déduire une équation cartésienne de (\mathrm{CD}).
4. a. Déterminer les coordonnées du point \text{C}', symétrique de \text{C} par rapport à l'axe des ordonnées.
b. Déterminer une équation cartésienne de \left(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}\right)
5. a. Justifier que les droites (\mathrm{CD}) et \left(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}\right) sont sécantes.
b. Calculer les coordonnées de \text{G,} leur point d'intersection
b. Déterminer une équation cartésienne de \left(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}\right)
5. a. Justifier que les droites (\mathrm{CD}) et \left(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}\right) sont sécantes.
b. Calculer les coordonnées de \text{G,} leur point d'intersection
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3
Soit (\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points \mathrm{A}(-3\:;-2), \mathrm{B}(3\:; 1), \mathrm{C}(-1\:;-1) et \mathrm{D}(-3\:; 3).
1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{CB}}.
b. Étudier la colinéarité de ces deux vecteurs.
c. En déduire que le point \text{C} appartient à (\mathrm{AB}).
2. a. Calculer les longueurs \mathrm{AC}^{2}, \mathrm{CD}^{2} et \mathrm{AD}^{2}.
b. En déduire la nature du triangle \text{ACD.} Justifier.
b. Étudier la colinéarité de ces deux vecteurs.
c. En déduire que le point \text{C} appartient à (\mathrm{AB}).
2. a. Calculer les longueurs \mathrm{AC}^{2}, \mathrm{CD}^{2} et \mathrm{AD}^{2}.
b. En déduire la nature du triangle \text{ACD.} Justifier.
c. En déduire la nature du point \text{C} dans le triangle \text{ABD.}
3. a. Grâce aux formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, calculer les mesures des angles \widehat{\mathrm{CAD}} et \widehat{\mathrm{CBD}}. Arrondir au degré près.
b. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ADB}}.
4. Quelle est la nature du triangle \text{BDC ?}
3. a. Grâce aux formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, calculer les mesures des angles \widehat{\mathrm{CAD}} et \widehat{\mathrm{CBD}}. Arrondir au degré près.
b. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ADB}}.
4. Quelle est la nature du triangle \text{BDC ?}
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4
On donne les définitions suivantes.
- Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et le milieu du segment opposé.
- Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des trois médianes.
1. Démontrer que \text{OIM} est un triangle équilatéral.
2. Calculer les coordonnées des points \text{A,} \text{B} et \text{C,} respectivement milieux des segments [\mathrm{OI}], [\mathrm{OM}] et [\mathrm{IM}].
3. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de \text{O,} puis celle de la médiane issue de \text{M} dans le triangle \text{OIM.}
4. En déduire les coordonnées du point \text{G,} centre de gravité du triangle \text{OIM.}
2. Calculer les coordonnées des points \text{A,} \text{B} et \text{C,} respectivement milieux des segments [\mathrm{OI}], [\mathrm{OM}] et [\mathrm{IM}].
3. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de \text{O,} puis celle de la médiane issue de \text{M} dans le triangle \text{OIM.}
4. En déduire les coordonnées du point \text{G,} centre de gravité du triangle \text{OIM.}
5. Montrer que \text{G} est le centre du cercle circonscrit au triangle \text{OIM.}
6. En déduire les deux points par lesquels passe la médiatrice du segment [\mathrm{OM}].
7. Calculer la somme vectorielle \overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{GI}}+\overrightarrow{\mathrm{GO}}.
8. Conjecturer une caractérisation vectorielle du centre de gravité \text{P} d'un triangle \text{ RST.}
6. En déduire les deux points par lesquels passe la médiatrice du segment [\mathrm{OM}].
7. Calculer la somme vectorielle \overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{GI}}+\overrightarrow{\mathrm{GO}}.
8. Conjecturer une caractérisation vectorielle du centre de gravité \text{P} d'un triangle \text{ RST.}
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5
Dans un repère (\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}), on considère les points \mathrm{A}(5\:; 5) et \mathrm{B}(-4\:;-1). Soit d une droite du plan ayant pour vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {2}\end{pmatrix}.
1. Quelles sont les coordonnées du point \text{O}', image de l'origine \text{O} par la translation de vecteur \vec{u}\:?
2. Démontrer que les droites (\mathrm{BA}) et d sont parallèles.
3. Est-il possible de déterminer une équation de la droite d\:? Justifier la réponse.
4. \text{C} est le point de coordonnées (1\:; c) où c est un nombre réel. Déterminer les coordonnées du point \text{C}', projeté orthogonal du point \text{C} sur l'axe des abscisses.
2. Démontrer que les droites (\mathrm{BA}) et d sont parallèles.
3. Est-il possible de déterminer une équation de la droite d\:? Justifier la réponse.
4. \text{C} est le point de coordonnées (1\:; c) où c est un nombre réel. Déterminer les coordonnées du point \text{C}', projeté orthogonal du point \text{C} sur l'axe des abscisses.
5. Déterminer la valeur du nombre c de sorte que les points \text{A,} \text{B} et \text{C} soient alignés.
6. Déterminer l'équation réduite de la droite (\mathrm{BA}).
7. Quelles sont les coordonnées de \text{D,} point d'intersection de la droite (\mathrm{BA}) avec l'axe des abscisses.
6. Déterminer l'équation réduite de la droite (\mathrm{BA}).
7. Quelles sont les coordonnées de \text{D,} point d'intersection de la droite (\mathrm{BA}) avec l'axe des abscisses.
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6
On considère le repère (\mathrm{A}\:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}) où \text{ABCD} est un parallélogramme.
\text{E} est le symétrique de \text{A} par rapport à \text{B.} Les points \text{I,} \text{J,} \text{K} et \text{L} sont tels que \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\:; \overrightarrow{\mathrm{BJ}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\:; \overrightarrow{\mathrm{CK}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{CD}} et \overrightarrow{\mathrm{DL}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{DA}}.
1. Faire une figure.
GeoGebra
2. Déterminer les coordonnées de tous les points cités dans l'énoncé.
3. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{IJ}} et \overrightarrow{\mathrm{LK}}.
b. En déduire la nature du quadrilatère \text{IJKL.}
4. a. On considère le point \text{G} milieu du segment [\mathrm{BC}].
Placer \text{G} sur votre figure puis calculer ses coordonnées.
b. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EG}} et \overrightarrow{\mathrm{GD}}.
c. Que peut-on en déduire concernant le point \text{G ?}
3. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{IJ}} et \overrightarrow{\mathrm{LK}}.
b. En déduire la nature du quadrilatère \text{IJKL.}
4. a. On considère le point \text{G} milieu du segment [\mathrm{BC}].
Placer \text{G} sur votre figure puis calculer ses coordonnées.
b. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EG}} et \overrightarrow{\mathrm{GD}}.
c. Que peut-on en déduire concernant le point \text{G ?}
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7
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}), on considère les points \mathrm{A}(2\:;-1), \mathrm{B}(1\:; 2) et \mathrm{M}(x\:; y).
1. Exprimer \mathrm{MO}^{2} et \mathrm{MA}^{2} en fonction de x et y.
2. On rappelle que la médiatrice \Delta de [\mathrm{OA}] est l'ensemble des points \text{M} tels que \text{MO = MA.} Comme ces distances sont positives, cela revient à \mathrm{MO}^{2}=\mathrm{M} \mathrm{A}^{2}.
En déduire une équation cartésienne de \Delta.
3. De même, déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [\mathrm{OB}], notée d.
2. On rappelle que la médiatrice \Delta de [\mathrm{OA}] est l'ensemble des points \text{M} tels que \text{MO = MA.} Comme ces distances sont positives, cela revient à \mathrm{MO}^{2}=\mathrm{M} \mathrm{A}^{2}.
En déduire une équation cartésienne de \Delta.
3. De même, déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [\mathrm{OB}], notée d.
4. Calculer les coordonnées de \text{C,} point d'intersection de ces deux droites. Que peut-on dire de \text{C} dans le triangle \text{OAB ?}
5. a. Calculer les coordonnées de \text{K,} milieu de [\mathrm{AB}].
b. En déduire la nature du triangle \text{OAB.}
5. a. Calculer les coordonnées de \text{K,} milieu de [\mathrm{AB}].
b. En déduire la nature du triangle \text{OAB.}
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8
Sur une droite de repère ( \mathrm { O } \:; \vec { i } ), on considère deux points \text{A}(a) et \text{B}(b).
Le point \text{I} défini par \overrightarrow { \mathrm { IA } } + \overrightarrow { \mathrm { IB } } = \overrightarrow { 0 } a pour coordonnées \dfrac { a + b } { 2 } (moyenne des nombres a et b) et correspond au milieu de [\text{AB}]. On va chercher à savoir ce qui se passe pour d'autres relations. On fera une figure à chaque question.
1. On considère la série statistique ci-dessous.
a. Calculer la moyenne \overline { x } de cette série.
b. On se place dans un repère ( \mathrm { O } \:; \vec { i } ) d'une droite.
Soit \text{A}(2) et \text{B}(9). Montrer que le point \text{M} défini par 7 \overrightarrow { \mathrm { MA } } + 3 \overrightarrow { \mathrm { MB } } = \overrightarrow { 0 } vérifie \overrightarrow { \mathrm { OM } } = \dfrac { 7 } { 10 } \overrightarrow { \mathrm { OA } } + \dfrac { 3 } { 10 } \overrightarrow { \mathrm { OB } }.
c. En déduire que M a pour coordonnée \overline { x }. On dit que \text{M} est le barycentre du système \{ ( \mathrm { A } , 7 ) \: ; ( \mathrm { B } , 3 ) \}.
On pourrait faire une démonstration similaire en se plaçant dans le plan et en travaillant avec les deux coordonnées des points.
| x_i | 2 | 9 |
| n_i | 7 | 3 |
a. Calculer la moyenne \overline { x } de cette série.
b. On se place dans un repère ( \mathrm { O } \:; \vec { i } ) d'une droite.
Soit \text{A}(2) et \text{B}(9). Montrer que le point \text{M} défini par 7 \overrightarrow { \mathrm { MA } } + 3 \overrightarrow { \mathrm { MB } } = \overrightarrow { 0 } vérifie \overrightarrow { \mathrm { OM } } = \dfrac { 7 } { 10 } \overrightarrow { \mathrm { OA } } + \dfrac { 3 } { 10 } \overrightarrow { \mathrm { OB } }.
c. En déduire que M a pour coordonnée \overline { x }. On dit que \text{M} est le barycentre du système \{ ( \mathrm { A } , 7 ) \: ; ( \mathrm { B } , 3 ) \}.
On pourrait faire une démonstration similaire en se plaçant dans le plan et en travaillant avec les deux coordonnées des points.
2. a. On considère ici les séries statistiques \text{X} et \text{Y.}
Calculer les moyennes \overline { x } et \overline { y } des séries \text{X} et \text{Y.}
b. On se place dans le repère du plan ( \mathrm { O } \:; \vec { i } , \vec { j } ).
On donne \text{A}(-1\: ; - 1), \text{B}(4\: ; 1) et \text{C}(1\: ; 3) . Soit le point \text{M} défini par \overrightarrow { \mathrm { MA } } + \overrightarrow { \mathrm { MB } } + \overrightarrow { \mathrm { MC } } = \overrightarrow { 0 }.
Montrer que \overrightarrow { \mathrm { MA } } + \overrightarrow { \mathrm { MB } } + \overrightarrow { \mathrm { MC } } = \overrightarrow { 0 } \Leftrightarrow \overrightarrow { \mathrm { OM } } = \dfrac { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { \mathrm { OA } } + \overrightarrow { \mathrm { OB } } + \overrightarrow { \mathrm { OC } } ).
En déduire que \text{M} a pour coordonnées ( \overline { x }\: ; \overline { y } ). \text{M} est appelé le centre de gravité du triangle \text{ABC.}
| x_i | -1 | 4 | 1 |
| n_i | 1 | 1 | 1 |
| x_i | -1 | 1 | 3 |
| n_i | 1 | 1 | 1 |
Calculer les moyennes \overline { x } et \overline { y } des séries \text{X} et \text{Y.}
b. On se place dans le repère du plan ( \mathrm { O } \:; \vec { i } , \vec { j } ).
On donne \text{A}(-1\: ; - 1), \text{B}(4\: ; 1) et \text{C}(1\: ; 3) . Soit le point \text{M} défini par \overrightarrow { \mathrm { MA } } + \overrightarrow { \mathrm { MB } } + \overrightarrow { \mathrm { MC } } = \overrightarrow { 0 }.
Montrer que \overrightarrow { \mathrm { MA } } + \overrightarrow { \mathrm { MB } } + \overrightarrow { \mathrm { MC } } = \overrightarrow { 0 } \Leftrightarrow \overrightarrow { \mathrm { OM } } = \dfrac { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { \mathrm { OA } } + \overrightarrow { \mathrm { OB } } + \overrightarrow { \mathrm { OC } } ).
En déduire que \text{M} a pour coordonnées ( \overline { x }\: ; \overline { y } ). \text{M} est appelé le centre de gravité du triangle \text{ABC.}
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