Mathématiques 2de

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Nombres et calculs

Fonctions

Ch. 1

Généralités sur les fonctions

Ch. 2

Variations de fonctions

Ch. 3

Fonctions affines

Ch. 4

Fonctions de référence

Géométrie

Ch. 5

Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6

Notion de vecteur

Ch. 7

Colinéarité de vecteurs

Ch. 8

Équations de droites

Équations de droites

Ouverturep. 214-215

Activitép. 216-217

1. Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

Coursp. 218-219

2. Coefficient directeur et équation réduite

Coursp. 220-221

3. Positions relatives de droites

Coursp. 222-223

Résumé du cours

Révisionsp. 224

Auto-évaluation

Auto-évaluationp. 225

Régionnement du plan et optimisation linéaire

TP / TICEp. 226

Statistiques et droites : la droite de Mayer

TP / TICEp. 227

La droite d’Euler dans un triangle

Travailler autrementp. 228

Applications directes

Applications directesp. 229

Applications directes

Applications directes

Exercices FLASH

Exercicesp. 230

1. Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

Exercicesp. 231-232

2. Coefficient directeur et équation réduite

Exercicesp. 233-234

3. Positions relatives de droites

Exercicesp. 235-236

Synthèsep. 237-239

Préparer la Première - Géométrie

Pour aller plus loinp. 240-241

Fiches de révision

Fiches de révision - Exclusivité numérique

Exercices de révision

Exercices de révision - Exclusivité numérique

Statistiques et probabilités

Ch. 9

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Ch. 10

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Ch. 11

Probabilités et échantillonnage

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 8

Cours 2

Coefficient directeur et équation réduite

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A
Coefficient directeur d'une droite

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Théorème

Une droite d d'équation ax + by + c = 0 où b \neq 0 possède un vecteur directeur de coordonnées (1\:;m) avec m = -\dfrac{a}{b}.

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Démonstration

Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 avec b \neq 0.
Alors le vecteur \vec { u } ( - b\: ; a ) est un vecteur directeur de la droite d.
Le vecteur \dfrac { 1 } { - b } \vec { u } de coordonnées \left( 1\: ; \dfrac { a } { - b } \right) est colinéaire à \vec { u } ( - b\: ; a ), donc c'est un vecteur directeur de la droite d.
Le nombre m vaut -\dfrac { a } { b }.

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Définition

Le nombre m s'appelle coefficient directeur de la droite d.

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Exemple

La droite d d'équation 3x + 2y - 11 = 0 a pour vecteur directeur (1 \:; - 1\text{,}5) donc son coefficient directeur est -1\text{,}5.

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Application et méthode

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Énoncé

Déterminer graphiquement le coefficient directeur des droites (\text{AB}) et (\text{CD}).

Coefficient directeur d'une droite

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Méthode

On identifie un vecteur directeur \vec{u} de la droite (\text{AB}) puis on cherche le vecteur colinéaire à \vec{u} qui est de la forme (1\:;m).
Le nombre m est le coefficient directeur de (\text{AB}).
On trouve le coefficient directeur de (\text{CD}) de la même manière.

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Solution

\overrightarrow { \text{AB} } ( 3\: ; - 5 ) est un vecteur directeur de la droite (\text{AB}) donc le vecteur \left( 1 \:; - \dfrac { 5 } { 3 } \right) en est aussi un.
Le coefficient directeur de la droite (\text{AB}) vaut donc - \dfrac { 5 } { 3 }.
\overrightarrow { \mathrm { CD } } ( 8 \:; 1 ) est un vecteur directeur de la droite (\text{CD}) donc le vecteur \left( 1 \:; \dfrac { 1 } { 8 } \right) en est aussi un. Donc le coefficient directeur de la droite (\text{CD}) vaut \dfrac{1}{8}.

Pour s'entraîner

Exercices 17
et 18
p. 227

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B
Équation réduite d'une droite

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Théorème

Soit une droite d de coefficient directeur m. Il existe un unique nombre p tel que l'équation de d s'écrit y = mx + p .

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Logique

Il existe une seule équation réduite d'une droite car il n'y a qu'un vecteur directeur de la forme (1 \:; m).

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Démonstration

Si (1\: ; m) est un vecteur directeur de la droite d, alors son équation cartésienne (de la forme ax + by + c = 0) s'écrit mx - y + k = 0 soit y = mx + k , où k est un nombre réel. Le nombre k est le nombre p cherché.

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Remarque

La droite d'équation y = mx + p coupe l'axe des ordonnées en p. C'est pour cela que le nombre p s'appelle ordonnée à l'origine de la droite d .

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Définition

L'équation y = mx + p s'appelle équation réduite de la droite d.

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Propriété

Le coefficient directeur d'une droite (\text{AB}) non parallèle à l'axe des ordonnées est égal à \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } }.

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Remarque

On a aussi m = \dfrac { y _ { \mathrm { A } } - y _ { \mathrm { B } } } { x _ { \mathrm { A } } - x _ { \mathrm { B } } }.

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Démonstration

Soient \text{A} et \text{B} deux points disctincts. Le vecteur \overrightarrow { \mathrm { AB } } \left( x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } \:; y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } \right) est un vecteur directeur de la droite (\text{AB}), donc le vecteur \dfrac { 1 } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } } \overrightarrow { \mathrm { AB } } aussi car x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } \neq 0 : ses coordonnées sont \left( 1\: ; \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } } \right).
On a donc m = \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } }.

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Remarque

On peut associer une équation réduite à une fonction affine. Lorsque m \gt 0, la fonction est croissante. Lorsque m = 0 , elle est constante et lorsque m \lt 0, elle est décroissante.

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Exemple

Le coefficient directeur de la droite passant par \text{A}(1 \:; 3) et \text{B}(4\: ; 5) est m=\dfrac{2}{3}.

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Application et méthode

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Énoncé

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par les points \text{A}(-4\: ; 4) et \text{B}(3\: ; 0).

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Méthode

On commence par calculer le coefficient directeur.

On utilise ensuite les coordonnées d'un des deux points pour calculer l'ordonnée à l'origine.

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Solution

Le coefficient directeur de la droite (\mathrm { AB }) vaut

\dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } }

= \dfrac { 0 - 4 } { 3 - ( - 4 ) }

= - \dfrac { 4 } { 7 }.

(\mathrm { AB })

y = - \dfrac { 4 } { 7 } x + p

p

Comme B appartient à la droite (\mathrm { AB }), ses coordonnées vérifient l'équation y = - \dfrac { 4 } { 7 } x + p : 0 = - \dfrac { 4 } { 7 } \times 3 + p donc

p = \dfrac { 12 } { 7 }

(\mathrm { AB })

y = - \dfrac { 4 } { 7 } x + \dfrac { 12 } { 7 }

Pour s'entrainer

Exercices 22
p. 227, 59
p. 231 et 62
p. 232

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