\vec { u } ( - b\: ; a ) et \vec { u } ^ { \prime } ( - b ' \:; a ' ) sont des vecteurs directeurs respectifs de d et d'.

d et d' sont sécantes si, et seulement si, \vec { u } et \vec { u' } ne sont pas colinéaires.

Autrement dit, si le déterminant de ces deux vecteurs est différent de 0.

Or, ce déterminant est égal à - b a ^ { \prime } - \left( - b ^ { \prime } \right) a = a b ^ { \prime } - a ^ { \prime } b.

Déplacer les points pour modifier les droites et les équations qui leur sont associées.

Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées (x \:; y) de leur point d'intersection sont solutions du système : \begin{cases} { a x + b y + c = 0 } \\ { a ^ { \prime } x + b ^ { \prime } y + c' = 0 } \end{cases}

Le point d'intersection appartient simultanément aux deux droites donc ses coordonnées vérifient simultanément les deux équations.

Soient d et d' deux droites d'équations cartésiennes ax + by + c = 0 et ax + by + c' = 0. d et d' sont distinctes si, et seulement si, c \neq c'.

d et d' ont pour vecteur directeur \vec { u } ( - b\: ; a ). Elles sont donc parallèles. Elles sont distinctes si, et seulement si, pour tout point \mathrm { A } \left( x _ { \mathrm { A } }\: ; y _ { \mathrm { A } } \right) appartenant à d , \mathrm { A } \notin d ^ { \prime } donc si, et seulement si, a x _ { \mathrm { A } } + b y _ { \mathrm { A } } + c = 0 et a x _ { \mathrm { A } } + b y _ { \mathrm { A } } + c ^ { \prime } \neq 0 d'où c \neq c ^ { \prime }.

Soit y = mx + p et y = m'x + p' les équations réduites de deux droites d et d'.
Alors leurs équations cartésiennes s'écrivent mx - y + p = 0 et m'x - y + p' = 0 .
d et d' sont parallèles équivaut à m \times ( - 1 ) - m ^ { \prime } \times ( - 1 ) = 0, c'est-à-dire m = m'.

• \begin{cases} { 3 = 2 \times 4 - 5 } \\ { 4 - 5 \times 3 + 11 = 0 } \end{cases} donc \text{A} est l'intersection de d_1 et d_3.


• \begin{cases}{ 9 + 4 \times 4 = 25 } \\ { 9 - 5 \times 4 + 11 = 0 } \end{cases} donc \text{B} est l'intersection de d_2 et d_3.


• \begin{cases} { 5 = 2 \times 5 - 5 } \\ { 5 + 4 \times 5 = 25 } \end{cases} donc \text{C} est l'intersection de d_2 et d_2.

Exercices

21

p.  27 et

65

p. 232

1 \times 6 - ( - 5 ) \times ( - 8 ) \neq 0 donc d et d' sont sécantes. On résout le système formé des équations des deux droites : \begin{cases}{ x - 8 y + 10 = 0 } \\ { - 5 x + 6 y + 18 = 0 } \end{cases}.
Par substitution : On isole x dans la première ligne x = 8y - 10 . On remplace x par cette expression dans la seconde équation : -5 \times (8y - 10) + 6y + 18 = 0 , soit -34y + 68 = 0 soit y = 2 .
Donc x = 8 \times 2 - 10 = 6 .
Le point d'intersection des deux droites est le point de coordonnées (6 \:; 2).

Exercices

26 et 27

p. 227 et

83

p. 234