1. Reconnaître la représentation graphique des fonctions de référence.
2. Comparer l'image de deux nombres par ces fonctions.
3. Résoudre graphiquement ou algébriquement équations et inéquations faisant intervenir ces fonctions.
4. Utiliser la position relative de leur courbe représentative.

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La forme de cette toupie rappelle celle de la fonction inverse. Son énergie de rotation dépend du carré de sa vitesse de rotation. La fonction inverse et la fonction carré sont deux des quatre fonctions de référence qui sont étudiées dans ce chapitre.

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Avant de commencer

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Prérequis

1. Utiliser les identités remarquables usuelles.
2. Maîtriser les notions d'image et d'antécédent.
3. Dresser graphiquement un tableau de variations ou le lire.
4. Utiliser la définition de fonction croissante ou décroissante.
5. Déterminer graphiquement la position relative de courbes.

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Anecdote

La somme des inverses des carrés de tous les entiers naturels non nuls est égale à \dfrac { \pi ^ { 2 } } { 6 } : \dfrac { 1 } { 1 ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \ldots = \dfrac { \pi ^ { 2 } } { 6 }.

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1
Utiliser une représentation graphique

On considère la courbe représentative d'une fonction f définie sur [ - 2\:; 4 ].

1. Déterminer les images de 0 ; –1 et 3 par f .

2. Déterminer un antécédent de 4, deux antécédents de 3, un antécédent de 1 et deux antécédents
de 2 par f .

3. Donner un exemple de réel qui possède trois antécédents par f .

4. Donner un exemple de réel qui ne possède pas d'antécédent par f .

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2
Développer et factoriser une expression

Soit x \in \mathbb { R } .
1. Développer et réduire les expressions suivantes.
a. ( 2 x + 1 ) ^ { 2 }

b. ( x + 4 ) ( x - 4 )

c. ( 3 x - 4 ) ^ { 2 }

2. Factoriser les expressions suivantes.
a. x ^ { 2 } - 2 x + 1

b. 4 x ^ { 2 } + 12 x + 9

c. 4 x ^ { 2 } - 9

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3
Lire et utiliser des variations

On donne la courbe représentative d'une fonction g définie sur l'intervalle \mathrm { I } = [ 0\:; 5 ].

1. La fonction g est-elle monotone sur \mathrm { I }\:?

2. Dresser le tableau de variations de g sur \mathrm { I }.

3. a. Donner le sens de variation de g sur l'intervalle [ 3\:; 4 ].

b. On suppose que a et b appartiennent à [ 3\:; 4 ] tels que a \lt b. Comparer g(a) et g(b).

4. Répondre aux questions 3. a. et 3. b. sur l'intervalle [ 2\:; 3 ].

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4
Lire et utiliser un tableau de variations

On donne ci-après le tableau de variations d'une fonction f définie sur [ - 10\:; 9 ].

1. Tracer la courbe représentative d'une fonction ayant ce tableau de variations.

2. Compléter avec les symboles \lt ou \gt. Écrire « ? » si on ne peut pas savoir.
a. f ( 6 )

f ( 8 )

b. f ( - 3\text{,}6 )

( 1\text{,}3 )

c. f ( - 6 )

f ( - 2 )

d. f ( - 8 )

f ( - 5 )

e. f ( 3\text{,}2 )

f ( 5\text{,}72 )

f. f ( 2\text{,}01 )

f ( 2\text{,}1 )

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5
Problème

Un particulier possède un terrain sur lequel il veut installer un potager rectangulaire \mathrm { ABCD }.
Pour ne pas être dérangé par des animaux nuisibles, il souhaite le clôturer avec un grillage.
Il veut avoir un potager de 25 m² et minimiser la longueur de grillage à utiliser. 1. On note x la longueur \mathrm { AB } en m.
a. Quelles sont les valeurs possibles de x\:?

b. Exprimer, en fonction de x, la longueur \mathrm{BC}.

2. Exprimer, en fonction de x, le périmètre \mathrm { P } ( x ) du potager.

3. Tracer la courbe représentative de \mathrm { P } et en déduire son tableau de variations.

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4. a. Pour quelle valeur de x le périmètre est-il minimal ?

b. Quelle est alors la valeur de ce périmètre ?

c. Quelle est la particularité de \mathrm { ABCD }\:?

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Capacités attendues

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Prérequis

Anecdote

1 Utiliser une représentation graphique

2 Développer et factoriser une expression

3 Lire et utiliser des variations

4Lire et utiliser un tableau de variations

5Problème

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