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Ch. 5
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Jeux de société
Chapitre 4
Entrainement 2
Fonction inverse, fonction cube
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56
[Chercher.]
Une des affirmations suivantes correspond à la fonction inverse : laquelle ? Qu'elle est celle qui correspond à la fonction cube ?
1. Ma courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine mais je ne suis pas définie en x = 0.
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre
2. Le point de coordonnées (-3\: ; 9) appartient à ma courbe représentative.
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre
3. Je suis la fonction de référence dont la courbe représentative est située sous celle des autres sur [0\: ; 1].
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre
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[Calculer.] Donner l'image par la fonction inverse i : x \mapsto \dfrac { 1 } { x } des nombres suivants.
1. 2 + 3
2. 2 \times 3
2. 2 \times 3
3. 2 - 3
4. 2 \times (-3)
4. 2 \times (-3)
5. \dfrac { 2 } { 3 }
6. \dfrac { 2 } { -3 }
6. \dfrac { 2 } { -3 }
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58
[Calculer.]
Donner l'inverse des nombres suivants.
1. \dfrac { - 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 }
2. \dfrac { - 1 } { 2 } - \dfrac { 1 } { 3 }
2. \dfrac { - 1 } { 2 } - \dfrac { 1 } { 3 }
3. \dfrac { - 1 } { 2 } \times \dfrac { 1 } { 3 }
4. \dfrac { - 1 } { 2 } \times \dfrac { - 1 } { 3 }
4. \dfrac { - 1 } { 2 } \times \dfrac { - 1 } { 3 }
5. \dfrac{\frac { - 1 } { 2 }} {\frac { 1 } { 3 }}
6. \dfrac{\dfrac { - 1 } { 2 }} {\dfrac { - 1 } { 3 }}
6. \dfrac{\dfrac { - 1 } { 2 }} {\dfrac { - 1 } { 3 }}
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[Chercher.] Ordonner les inverses \dfrac { 1 } { x } des nombres x suivants en justifiant votre réponse.
- 0\text{,}3\:; 1\:; \dfrac { 4 } { 7 }\:; - 1 ; \dfrac { 4 } { 9 } \:; - 1\text{,}04\:; \dfrac { 4 } { 7 } \:; - 0\text{,}03\:; \dfrac { 5 } { 4 }\:; - 1\text{,}4\:; \dfrac { 11 } { 4 }
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[Calculer.] Déterminer un encadrement pour \dfrac { 1 } { x } dans chacun des cas suivants.
1. 1 \leqslant x \leqslant 3
2. \dfrac { 1 } { 2 } \lt x \leqslant 6
3. - 5 \lt x \lt - 1
4. \dfrac { 2 \pi } { 3 } \leqslant x \lt 12
5. - 1 + \dfrac { \pi } { 4 } \lt x \leqslant - \dfrac { 1 } { 16 }
6. - \dfrac { 5 } { \pi + 2 } \leqslant x \leqslant - \dfrac { 1 } { \pi + 6 }
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[Raisonner.]
Déterminer le ou les intervalles pouvant contenir l'inverse de x dans la liste suivante.
1. Si 3 \lt x \lt 4
alors son inverse appartient à :
2. Si - \dfrac { 1 } { 2 } \lt x \lt - \dfrac { 1 } { 5 }
alors son inverse appartient à :
alors son inverse appartient à :
2. Si - \dfrac { 1 } { 2 } \lt x \lt - \dfrac { 1 } { 5 }
alors son inverse appartient à :
3. Si - 1 \geqslant x \geqslant - 10
alors son inverse appartient à :
4. Si \dfrac { 3 } { 2 } \gt x \geqslant \dfrac { 2 } { 3 }
alors son inverse appartient à :
alors son inverse appartient à :
4. Si \dfrac { 3 } { 2 } \gt x \geqslant \dfrac { 2 } { 3 }
alors son inverse appartient à :
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[Chercher.] Déterminer le plus petit ensemble qui contient l'inverse de x dans les cas suivants.
1. \dfrac { 2 } { 7 } \lt x \leqslant \dfrac { 5 } { 8 }
2. - \dfrac { 3 } { 2 } \gt x \geqslant - \dfrac { 5 } { 3 }
3. 7 \lt x
2. - \dfrac { 3 } { 2 } \gt x \geqslant - \dfrac { 5 } { 3 }
3. 7 \lt x
4. \dfrac { 7 } { 2 } \geqslant x \gt 0
5. - 5 \leqslant x \lt 0
6. - \dfrac { 1 } { 6 } \leqslant x
5. - 5 \leqslant x \lt 0
6. - \dfrac { 1 } { 6 } \leqslant x
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64
Démo
[Raisonner.]
On cherche à déterminer les variations de la fonction inverse, notée \text{I}, sur son ensemble de définition.
1. Rappeler l'ensemble de définition de la fonction \text{I}.
2. Démontrer que, pour tous réels a et b non nuls, \dfrac { 1 } { a } - \dfrac { 1 } { b } = \dfrac { b - a } { a b }.
3. On étudie d'abord les variations de \text{I} sur l'intervalle ] - \infty\:; 0[.
On considère deux réels a et b tels que a \lt b \lt 0.
2. Démontrer que, pour tous réels a et b non nuls, \dfrac { 1 } { a } - \dfrac { 1 } { b } = \dfrac { b - a } { a b }.
3. On étudie d'abord les variations de \text{I} sur l'intervalle ] - \infty\:; 0[.
On considère deux réels a et b tels que a \lt b \lt 0.
a. En utilisant la question 2., étudier le signe de \dfrac { 1 } { a } - \dfrac { 1 } { b }.
b. Que peut-on en déduire pour la fonction \text{I} sur ] - \infty\:; 0 [\:?
4. Déterminer les variations de la fonction \text{I} sur ] 0\:; + \infty [.
b. Que peut-on en déduire pour la fonction \text{I} sur ] - \infty\:; 0 [\:?
4. Déterminer les variations de la fonction \text{I} sur ] 0\:; + \infty [.
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[Représenter.]
On considère un rectangle \text{ABCD} d'aire fixe égale à 1 tel que \text{AB} = x avec x \gt 0. Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction inverse sur ] 0\:; + \infty [ avec une approche géométrique.
1. Exprimer la longueur \text{BC} en fonction de x .
2. On considère deux réels strictement positifs a et b tels que a \lt b . La longueur \text{BC} est-elle plus grande lorsque x = a ou x = b\:?
3. Retrouver le sens de variation de la fonction inverse sur ] 0\:; + \infty [.
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[Raisonner.] Soient a \in \mathbb { R } ^ { * } et b \in \mathbb { R } ^ { * } et f la fonction inverse. Le but est de déterminer les couples (a ; b) vérifiant l'égalité (\text{E}) suivante : f ( a \times b ) = f ( a ) + f ( b ).
1. Montrer que les couples \left( \dfrac { 1 } { 4 }\:; \dfrac { 3 } { 4 } \right)et (4\:; - 3) satisfont (\text{E}).
2. Déterminer b pour que le couple (3\:; b) vérifie (\text{E}).
3. Montrer qu'il n'existe pas de couple (a\:; 1) vérifiant (\text{E}).
4. Déterminer tous les couples (a\:; b) vérifiant (\text{E}).
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[Raisonner.]
Soient a \in \mathbb { R } ^ { * } et b \in \mathbb { R } ^ { * } et f la fonction inverse. Le but est de déterminer les couples de valeurs (a\: ; b) qui vérifient l'égalité (\text{F}) suivante : f ( a + b ) = f ( a ) \times f ( b ).
1. Montrer que les couples \left( 4\:; \dfrac { 4 } { 3 } \right)et \left(-4\:; \dfrac { 4 } { 5 } \right) satisfont (\text{F}).
2. Déterminer a pour que le couple (a\:; 3) vérifie (\text{F}).
3. Montrer qu'il n'existe pas de couple (1\:; b) vérifiant (\text{F}).
4. Déterminer tous les couples (a\:; b) vérifiant (\text{F}).
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[Chercher.] Sans calculatrice, ranger les nombres suivants par ordre croissant.
1.
\lt
\lt
\lt
\lt
2.
\lt
\lt
\lt
\lt
\lt
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68
[Chercher.] Déterminer un encadrement de x^3 ou une inégalité que vérifie x^3 dans chacun des cas suivants.
1. - 3 \leqslant x \lt 2
2. - \sqrt { 2 } \lt 2 x \leqslant 1
3. x \geqslant \dfrac { 5 } { 6 }
4. x \lt \dfrac { \sqrt [ 3 ] { 5 } } { 2 }
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69
[Calculer.]
Déterminer les racines cubiques des nombres suivants (on simplifiera les expressions au maximum).
1. -64
2. \sqrt { 216 }
2. \sqrt { 216 }
3. \dfrac { 27 } { 8 }
4. 7 \sqrt { 7 }
4. 7 \sqrt { 7 }
5. 16
6. \dfrac { 64 \pi ^ { 3 } } { 125 }
6. \dfrac { 64 \pi ^ { 3 } } { 125 }
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70
[Calculer.]
1. Vérifier que ( 1 + 3 \sqrt { 5 } ) ^ { 3 } = 136 + 144 \sqrt { 5 }.
2. En déduire alors la valeur de la racine cubique de 136 + 144 \sqrt { 5 }.
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71
Démo
[Raisonner.]
On s'intéresse aux variations de la fonction cube définie sur \mathbb { R } par c(x) = x^3 .
1. Démontrer que, pour tous réels a et b , b ^ { 3 } - a ^ { 3 } = ( b - a ) \left( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right).
2. a. Démontrer que, pour tous réels a et b positifs tels que 0 \leqslant a \lt b , b ^ { 3 } - a ^ { 3 }\gt 0.
b. En déduire que la fonction c est strictement croissante sur [ 0\:; + \infty [.
3. a. Démontrer que, pour tous réels a et b strictement négatifs tels que a \lt b \leqslant 0 , {b ^ { 3 } - a ^ { 3 } \gt 0}.
1. Démontrer que, pour tous réels a et b , b ^ { 3 } - a ^ { 3 } = ( b - a ) \left( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right).
2. a. Démontrer que, pour tous réels a et b positifs tels que 0 \leqslant a \lt b , b ^ { 3 } - a ^ { 3 }\gt 0.
b. En déduire que la fonction c est strictement croissante sur [ 0\:; + \infty [.
3. a. Démontrer que, pour tous réels a et b strictement négatifs tels que a \lt b \leqslant 0 , {b ^ { 3 } - a ^ { 3 } \gt 0}.
b. Que peut-on en déduire pour la fonction c\:?
4. Que se passe-t-il dans le cas où a et b sont de signes contraires ?
5. Conclure.
4. Que se passe-t-il dans le cas où a et b sont de signes contraires ?
5. Conclure.
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Démo
[Raisonner.] Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tous réels a et b , \sqrt [ 3 ] { a b } = \sqrt [ 3 ] { a } \times \sqrt [ 3 ] { b }.
1. Démontrer que, pour tous réels a et b , ( \sqrt [ 3 ] { a b } ) ^ { 3 } = ( \sqrt [ 3 ] { a } \times \sqrt [ 3 ] { b } ) ^ { 3 }.
2. Conclure.
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