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Chapitre 4
Cours 2
Fonction inverse, fonction cube
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AFonction inverse
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Définition
- La fonction inverse est la fonction définie sur \mathbb { R } ^ { * } = ] - \infty\:; 0 [ \cup ] 0\:; + \infty [ qui, à tout réel x différent de 0, associe son inverse \dfrac { 1 } { x }.
- Sa courbe représentative est une hyperbole.
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Propriété
La fonction inverse :
1. est impaire ;
2. ne s'annule pas sur son ensemble de définition ;
3. est strictement décroissante sur ] - \infty\:; 0 [ et strictement décroissante sur ] 0\:; + \infty [.
1. est impaire ;
2. ne s'annule pas sur son ensemble de définition ;
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La fonction inverse n'est pas décroissante sur \mathbb { R } ^ { * }. En effet, on a par exemple - 2 \lt 3 mais \dfrac { 1 } { - 2 } \lt \dfrac { 1 } { 3 }.
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Démonstration
1. Soit x \in \mathbb { R } ^ { * }. \dfrac { 1 } { - x } = - \dfrac { 1 } { x } donc l'image de -x est l'opposée de l'image de x .
2. Supposons qu'il existe un réel x tel que \dfrac { 1 } { x } = 0. Alors 1 = 0 \times x, d'où 0 = 1. C'est absurde. Donc la fonction inverse ne s'annule pas sur \mathbb { R } ^ { * }.
3. Voir exercice p. 135
2. Supposons qu'il existe un réel x tel que \dfrac { 1 } { x } = 0. Alors 1 = 0 \times x, d'où 0 = 1. C'est absurde. Donc la fonction inverse ne s'annule pas sur \mathbb { R } ^ { * }.
3. Voir exercice p. 135
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Le point 2. utilise un raisonnement par l'absurde : si un postulat de départ induit une contradiction, alors ce postulat est faux.
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EXCLU. PREMIUM 2023
Genially
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Application et méthode
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Solution
La fonction inverse est strictement décroissante sur ] - \infty\:; 0[ et
sur ] 0\:; + \infty [.
1. a. \dfrac { 1 } { 5 } \gt \dfrac { 1 } { 8 } car 5 \lt 8 b. - \dfrac { 1 } { 2 } \lt - \dfrac { 1 } { 3 } car -2 \gt -3
c. \dfrac { 3 } { 7 } \lt \dfrac { 3 } { 5 } car \dfrac { 7 } { 3 } \gt \dfrac { 5 } { 3 } d. \dfrac { 2 } { 5 } \gt - \dfrac { 4 } { 3 } car les signes sont opposés.
2. On a - 1 \lt - \dfrac { 1 } { 2 } \lt \dfrac { 1 } { 2 \pi } \lt \dfrac { 1 } { 3 } car -2 \lt -1 \lt 0 et 0 \lt 3 \lt 2 \pi.
1. a. \dfrac { 1 } { 5 } \gt \dfrac { 1 } { 8 } car 5 \lt 8 b. - \dfrac { 1 } { 2 } \lt - \dfrac { 1 } { 3 } car -2 \gt -3
c. \dfrac { 3 } { 7 } \lt \dfrac { 3 } { 5 } car \dfrac { 7 } { 3 } \gt \dfrac { 5 } { 3 } d. \dfrac { 2 } { 5 } \gt - \dfrac { 4 } { 3 } car les signes sont opposés.
2. On a - 1 \lt - \dfrac { 1 } { 2 } \lt \dfrac { 1 } { 2 \pi } \lt \dfrac { 1 } { 3 } car -2 \lt -1 \lt 0 et 0 \lt 3 \lt 2 \pi.
Pour s'entraîner
Exercices p. 131 ; et p. 134
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Énoncé
1. Compléter sans calculatrice avec \lt ou \gt~:a. \dfrac { 1 } { 5 } \dots \dfrac { 1 } { 8 }
b. - \dfrac { 1 } { 2 } \ldots - \dfrac { 1 } { 3 }
c. \dfrac { 3 } { 7 } \dots \dfrac { 3 } { 5 }
d. \dfrac { 2 } { 5 } \dots - \dfrac { 4 } { 3 }
2. Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants : - \dfrac { 1 } { 2 }\:; \dfrac { 1 } { 2 \pi }\:; - 1\:; \dfrac { 1 } { 3 }.
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1. Si a et b sont des réels non nuls de même signe,
l'application de la fonction inverse change l'ordre.
Si a \lt b alors \dfrac { 1 } { a } \gt \dfrac { 1 } { b }.
Si a \lt 0 et b \gt 0 alors \dfrac { 1 } { a } \lt 0 et \dfrac { 1 } { b } > 0 donc on a toujours \dfrac { 1 } { a } \lt \dfrac { 1 } { b } .
2. On regroupe les négatifs, puis les positifs et on les classe grâce aux variations de la fonction inverse.
Si a \lt b alors \dfrac { 1 } { a } \gt \dfrac { 1 } { b }.
Si a \lt 0 et b \gt 0 alors \dfrac { 1 } { a } \lt 0 et \dfrac { 1 } { b } > 0 donc on a toujours \dfrac { 1 } { a } \lt \dfrac { 1 } { b } .
2. On regroupe les négatifs, puis les positifs et on les classe grâce aux variations de la fonction inverse.
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BFonction cube
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Définition
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La fonction inverse et la fonction cube sont impaires : leur courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
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Propriété
La fonction cube :
1. est impaire ;
2. est strictement croissante sur \mathbb { R }.
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2. est strictement croissante sur \mathbb { R }.
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Démonstration
1. Pour tout x \in \mathbb { R }, ( - x ) ^ { 3 } = ( - x ) \times ( - x ) \times ( - x ) = - x \times x \times x = - x ^ { 3 } donc l'image de
-x est l'opposée de l'image de x : la fonction cube est impaire.
2. La démonstration de ce point est faite dans exercice p. 135
2. La démonstration de ce point est faite dans exercice p. 135
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Propriété (admise)
Pour tout réel a, l'équation x ^ { 3 } = a admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de a.
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La racine cubique d'un réel a est notée \sqrt [ 3 ] { a }. Par définition ( \sqrt [ 3 ] { a } ) ^ { 3 } = a.
On peut démontrer que, pour tous réels a et b, \sqrt [ 3 ] { a \times b } = \sqrt [ 3 ] { a } \times \sqrt [ 3 ] { b }.
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Exemple
1. 2 ^ { 3 } = 2 \times 2 \times 2 = 8\: ; \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 3 } = \dfrac { 1 ^ { 3 } } { 3 ^ { 3 } } = \dfrac { 1 } { 27 }\: ; \sqrt { 5 } ^ { 3 } = \sqrt { 5 } ^ { 2 } \times \sqrt { 5 } = 5 \sqrt { 5 }.
2. L'équation x ^ { 3 } = 125 admet pour unique solution x = 5 donc \sqrt [ 3 ] { 125 } = 5.
2. L'équation x ^ { 3 } = 125 admet pour unique solution x = 5 donc \sqrt [ 3 ] { 125 } = 5.
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Application et méthode
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Énoncé
1. Résoudre dans \mathbb { R } les équations suivantes :
a. x ^ { 3 } = 8 b. x ^ { 3 } = - 27 c. x ^ { 3 } = \dfrac { 8 } { 27 }
2. Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants : ( - 2 ) ^ { 3 }\: ; \pi ^ { 3 }\: ; \dfrac { 64 } { 125 }\: ; \left( - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 3 }.
a. x ^ { 3 } = 8 b. x ^ { 3 } = - 27 c. x ^ { 3 } = \dfrac { 8 } { 27 }
2. Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants : ( - 2 ) ^ { 3 }\: ; \pi ^ { 3 }\: ; \dfrac { 64 } { 125 }\: ; \left( - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 3 }.
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1. Il convient de connaître le cube des entiers 0, ... , 5 au moins. Par imparité de x \mapsto x ^ { 3 }, on connaît alors celui
de –5, ... , 0.
2. On utilise la stricte croissance de la fonction cube pour ordonner les réels en rangeant d'abord les antécédents dans l'ordre croissant. L'ordre ne change alors pas.
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Solution
1. a. x = 2
b. x = - 3
c. x ^ { 3 } = \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 3 } donc x = \dfrac { 2 } { 3 }
2. On a : - 2 \lt - \dfrac { 3 } { 2 } \lt \dfrac { 4 } { 5 } \lt \pi donc, comme x \mapsto x ^ { 3 } est strictement croissante sur \mathbb { R }, on a : ( - 2 ) ^ { 3 } \lt \left( - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 3 } \lt \dfrac { 64 } { 125 } \lt \pi ^ { 3 }.
2. On a : - 2 \lt - \dfrac { 3 } { 2 } \lt \dfrac { 4 } { 5 } \lt \pi donc, comme x \mapsto x ^ { 3 } est strictement croissante sur \mathbb { R }, on a : ( - 2 ) ^ { 3 } \lt \left( - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 3 } \lt \dfrac { 64 } { 125 } \lt \pi ^ { 3 }.
Pour s'entraîner
Exercices p. 131, et p. 135
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