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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 4
Synthèse
Exercices de Synthèse
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82
Démo
[Raisonner.]
Soit a \in \mathbb { R }. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble des solutions dans \mathbb { R } de l'équation (\text{E}) : x^2 = a d'inconnue x .
1. On suppose que a \lt 0 .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } ,x ^ { 2 } - a \gt 0.
b. En déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (\text{E}) est vide.
2. On suppose que a = 0 . Montrer que l'équation (\text{E}) admet pour unique solution x = 0 .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } ,x ^ { 2 } - a \gt 0.
b. En déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (\text{E}) est vide.
2. On suppose que a = 0 . Montrer que l'équation (\text{E}) admet pour unique solution x = 0 .
3. On suppose maintenant que a \gt 0 .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } - a = ( x - \sqrt { a } ) ( x + \sqrt { a } ).
b. En déduire les solutions de l'équation x^2 = a .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } - a = ( x - \sqrt { a } ) ( x + \sqrt { a } ).
b. En déduire les solutions de l'équation x^2 = a .
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83
Démo
[Raisonner.]
Soit a \in \mathbb { R }. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble des solutions dans \mathbb { R } de l'inéquation (\text{E}) : x ^ { 2 } \leqslant a d'inconnue x .
1. On suppose que a \lt 0 .
a. Montrer alors que, pour tout x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } \gt a.
b. En déduire que l'ensemble des solutions de l'inéquation (\text{E}) est vide dans ce cas.
2. On suppose que a = 0 .
a. Montrer que x = 0 est solution de (\text{E}).
b. Montrer que l'inéquation x^2 \lt 0 n'a pas de solution.
c. Conclure.
a. Montrer alors que, pour tout x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } \gt a.
b. En déduire que l'ensemble des solutions de l'inéquation (\text{E}) est vide dans ce cas.
2. On suppose que a = 0 .
a. Montrer que x = 0 est solution de (\text{E}).
b. Montrer que l'inéquation x^2 \lt 0 n'a pas de solution.
c. Conclure.
3. On suppose que a \gt 0 .
a. Résolution sur \mathbb { R } ^ { - }.
a. Résolution sur \mathbb { R } ^ { - }.
- Montrer que si - \sqrt { a } \leqslant x \leqslant 0, alors x est solution de (\text{E}).
- Montrer que si x \lt - \sqrt { a }, alors x n'est pas solution de (\text{E}).
- En déduire l'ensemble des solutions de (\text{E}) sur \mathbb { R } ^ { - }.
- Montrer que si 0 \leqslant x \leqslant \sqrt { a }, alors x est solution de (\text{E}).
- Montrer que si x \gt \sqrt { a }, alors x n'est pas solution de (\text{E}).
- En déduire l'ensemble des solutions de (\text{E}) sur \mathbb { R } ^ { + }.
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84
[Raisonner.]
Le but de l'exercice est de déterminer le sens de variation de la fonction f : x \mapsto ( x - 3 ) ^ { 2 } + 1 définie sur \mathbb { R }.
1. Tracer la courbe représentative de la fonction f à l'aide de la calculatrice et observer les variations de f .
2. Étude :
a. Soient a \lt b \leqslant 3. Montrer que a - 3 \lt b - 3 \leqslant 0 et en déduire, à l'aide des variations de la fonction carré, que (a - 3)^2 \gt (b - 3)^2 .
b. En déduire que f(a) \gt f(b) et que f est strictement décroissante sur ] - \infty\: ; 3 ].
c. Soit 3 \leqslant a \lt b. Montrer, de la même manière, que f(a) \lt f(b) et en déduire que f est strictement croissante sur [ 3\: ; + \infty [.
2. Étude :
a. Soient a \lt b \leqslant 3. Montrer que a - 3 \lt b - 3 \leqslant 0 et en déduire, à l'aide des variations de la fonction carré, que (a - 3)^2 \gt (b - 3)^2 .
b. En déduire que f(a) \gt f(b) et que f est strictement décroissante sur ] - \infty\: ; 3 ].
c. Soit 3 \leqslant a \lt b. Montrer, de la même manière, que f(a) \lt f(b) et en déduire que f est strictement croissante sur [ 3\: ; + \infty [.
d. Dresser le tableau de variations de f .
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85
[Chercher.] Le but de cet exercice est d'étudier la fonction racine cubique f qui, à tout x \in \mathbb { R }, associe le réel \sqrt [ 3 ] { x }.
1. On considère deux réels a et b tels que a \lt b .
a. Montrer, à l'aide des variations de la fonction cube, que supposer \sqrt [ 3 ] { a } \geqslant \sqrt [ 3 ] { b } conduit à une absurdité.
b. En déduire que, nécessairement, \sqrt [ 3 ] { a } \lt \sqrt [ 3 ] { b } et que f est strictement croissante sur \mathbb { R }.
2. Montrer que f(0) = 0 et en déduire que :
a. pour tout x \gt 0 , f(x) \gt 0\:;
b. pour tout x \lt 0 , f(x) \lt 0.
3. Déduire des questions 1. et 2. le tableau de signes et le tableau de variations de f .
a. Montrer, à l'aide des variations de la fonction cube, que supposer \sqrt [ 3 ] { a } \geqslant \sqrt [ 3 ] { b } conduit à une absurdité.
b. En déduire que, nécessairement, \sqrt [ 3 ] { a } \lt \sqrt [ 3 ] { b } et que f est strictement croissante sur \mathbb { R }.
2. Montrer que f(0) = 0 et en déduire que :
a. pour tout x \gt 0 , f(x) \gt 0\:;
b. pour tout x \lt 0 , f(x) \lt 0.
3. Déduire des questions 1. et 2. le tableau de signes et le tableau de variations de f .
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4. a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } , f ( - x ) = - f ( x ).
b. Qu'est-ce que cela signifie pour f\:?
c. Quelle propriété géométrique vérifie alors la courbe représentative de f\:?
5. a. À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer dans un repère orthonormé les courbes représentatives de f , de la fonction cube et de la fonction identité ( x \mapsto x ).
b. Quelle conjecture peut-on faire d'un point de vue géométrique ?
b. Qu'est-ce que cela signifie pour f\:?
c. Quelle propriété géométrique vérifie alors la courbe représentative de f\:?
5. a. À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer dans un repère orthonormé les courbes représentatives de f , de la fonction cube et de la fonction identité ( x \mapsto x ).
GeoGebra
b. Quelle conjecture peut-on faire d'un point de vue géométrique ?
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86
[Représenter.] On s'intéresse à la position relative des courbes représentatives des fonctions f : x \mapsto \dfrac { 1 } { x } et g : x \mapsto x ^ { 2 }.
1. a. Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g .
b. Conjecturer la position relative de ces courbes.
GeoGebra
b. Conjecturer la position relative de ces courbes.
2. Montrer que, pour tout x \lt 0 , f(x) \lt g(x) .
3. Pour x \gt 0 , on définit h : x \mapsto \dfrac { g ( x ) } { f ( x ) }.
a. Montrer que h(1) = 1 .
b. Montrer que pour tout x \in ] 0\: ; 1 [ , h ( x ) \lt 1 et en déduire que g(x) \lt f(x).
c. Montrer que pour tout x \gt 1 , h(x) \gt 1 et en déduire que g(x) \gt f(x).
4. Conclure.
3. Pour x \gt 0 , on définit h : x \mapsto \dfrac { g ( x ) } { f ( x ) }.
a. Montrer que h(1) = 1 .
b. Montrer que pour tout x \in ] 0\: ; 1 [ , h ( x ) \lt 1 et en déduire que g(x) \lt f(x).
c. Montrer que pour tout x \gt 1 , h(x) \gt 1 et en déduire que g(x) \gt f(x).
4. Conclure.
Dans la vie professionnelle
L'ingénieur(e) intégration satellite coordonne tout le montage d'un satellite avant sa mise en orbite, en particulier l'assemblage et la résistance. La mise en orbite fait ensuite appel à des trajectoires hyperboliques ou paraboliques.
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87
[Chercher.]
On souhaite réaliser le solide ci-dessous. Celui-ci est composé d'un cube sur lequel on dispose quatre cubes dont les côtés ont une longueur trois fois inférieure à celle des arêtes du gros cube.
1. On note x la longueur (en cm) d'une arête du grand cube.
a. À quel intervalle \text{I} le réel x doit-il appartenir ?
b. Déterminer, en fonction de x \in \mathrm { I }, la surface \text{S}(x) de la face avant du solide.
c. Déterminer, en fonction de x \in \mathrm { I }, le volume \text{V}(x) du solide.
2. On souhaite que la surface de la face avant soit de 44 cm2. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ? Quel est alors le volume du solide ?
3. On souhaite à présent que le volume du solide soit égal à \dfrac { 837 } { 8 } cm3.
a. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ?
b. Quelle est alors la surface de la face avant du solide ?
a. À quel intervalle \text{I} le réel x doit-il appartenir ?
b. Déterminer, en fonction de x \in \mathrm { I }, la surface \text{S}(x) de la face avant du solide.
c. Déterminer, en fonction de x \in \mathrm { I }, le volume \text{V}(x) du solide.
2. On souhaite que la surface de la face avant soit de 44 cm2. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ? Quel est alors le volume du solide ?
3. On souhaite à présent que le volume du solide soit égal à \dfrac { 837 } { 8 } cm3.
a. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ?
b. Quelle est alors la surface de la face avant du solide ?
4. Tracer les courbes représentatives C_ { \mathrm { S } } et C _ { \mathrm { V } } de \text{S} et de \text{V} sur \mathbb { R } ^ { + }. Semble-t-il exister une valeur de x non nulle pour laquelle \text{S}(x) = \text{V}(x)\:? Si oui, la déterminer.
5. Conjecturer la position relative des courbes C_ { \mathrm { S } } et C _ { \mathrm { V } }.
GeoGebra
5. Conjecturer la position relative des courbes C_ { \mathrm { S } } et C _ { \mathrm { V } }.
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88
[Chercher.]
Un bricoleur a récupéré deux pieds de deux tables à repasser
différentes : le premier a une longueur de 100 cm et le deuxième de 120 cm. Il souhaite les assembler pour former les pieds d'une nouvelle table à repasser et, sans réfléchir, il les a assemblés respectivement à 36 cm et 49 cm de longueur.
Après réflexion, il appelle x et f(x) les longueurs respectives, comme indiquées ci-dessous, des pieds 1 et 2, pour obtenir le parallélisme qui convient pour chaque pied après le découpage.
1. Déduire de l'énoncé les plus grandes valeurs possibles pour x et f(x).
2. Montrer que, pour x \gt 0 , f ( x ) = \dfrac { 1\,764 } { x }.
2. Montrer que, pour x \gt 0 , f ( x ) = \dfrac { 1\,764 } { x }.
3. Déduire de 1. et 2. les plus petites valeurs possibles pour x et f(x).
4. Pour faciliter le découpage des pieds, le bricoleur veut que les longueurs x et f(x) soient égales. Quelle sera la longueur de chacun des pieds ?
4. Pour faciliter le découpage des pieds, le bricoleur veut que les longueurs x et f(x) soient égales. Quelle sera la longueur de chacun des pieds ?
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89
[Raisonner.]
Pour son chaton, Virgile désire construire un enclos provisoire ayant la forme d'un pavé droit sans fond ni toit. La longueur de l'enclos est \ell = 1 m, la largeur est notée \text{L} et la hauteur h . Il possède 5 m2 de contreplaqué et désire utiliser la totalité.
1. a. Donner l'expression de la surface \text{S} de l'enclos en fonction de \text{L} et la hauteur h .
b. Montrer que 0 \lt h \lt 2\text{,}5 et que \mathrm { L } = \dfrac { 5 } { 2 h } - 1.
2. Sachant que Virgile veut un enclos avec une hauteur comprise entre 0,5 m et 1 m, déterminer un encadrement de \text{L} .
Aide
Ne pas oublier que l'enclos n'a pas de fond ni de toit.
2. Sachant que Virgile veut un enclos avec une hauteur comprise entre 0,5 m et 1 m, déterminer un encadrement de \text{L} .
3. Écrire h en fonction de \text{L} puis déterminer une expression du volume de l'enclos en fonction de \text{L} .
4. Sachant que Virgile veut un enclos avec un volume compris entre 1 m3 et 1,5 m3, déterminer un nouvel encadrement de \text{L} .
5. Est-il possible d'appliquer les deux contraintes ?
4. Sachant que Virgile veut un enclos avec un volume compris entre 1 m3 et 1,5 m3, déterminer un nouvel encadrement de \text{L} .
5. Est-il possible d'appliquer les deux contraintes ?
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90
[Raisonner.]
Lire le paragraphe « Histoire des maths » ci-dessous et expliquer pourquoi la construction de John Wallis est fausse.
Histoire des maths
John Wallis est un célèbre mathématicien du XVIIe siècle, qui a notamment inventé le symbole \infty pour désigner l'infini. À un moment de sa vie, il pensait néanmoins que les nombres négatifs n'existaient pas, et pour le montrer, il disait : « S'il existe un nombre négatif a , alors il est inférieur à 0 . Or, \dfrac { 1 } { 0 } = \infty et par décroissance de la fonction inverse, on a donc \dfrac { 1 } { a } \gt \dfrac { 1 } { 0 }, d'où \dfrac { 1 } { a } > \infty, ce qui est absurde. »
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91
[Raisonner.] Soient les fonctions f : x \mapsto x et g : x \mapsto \sqrt { x }. 1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer la position relative de C _ { f } et C _ { g } sur ] 0\:; 1 [ puis sur ] 1\:; + \infty [.
2. Démontrer cette conjecture.
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Club de Maths
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92
Défi
Soit n un entier naturel. On s'intéresse à l'équation ( \mathrm { E } )\:x ^ { 2 } = 4 n + 1. Le but de ce défi est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur l'entier naturel n pour que l'équation (\mathrm { E }) admette des solutions entières, c'est-à-dire pour que x \in \mathbb { Z }.
1. Déterminer les solutions réelles de (\mathrm { E }) pour n = 0 , n = 4 , n = 6 , n = 10 , n = 12 , n = 15 , n = 20 .
2. On suppose que x \in \mathbb { Z } est solution de (\mathrm { E }).
a. Montrer que x ne peut être un entier pair.
b. On suppose alors que x est un entier impair. Montrer que n vérifie nécessairement une certaine propriété que l'on précisera.
2. On suppose que x \in \mathbb { Z } est solution de (\mathrm { E }).
a. Montrer que x ne peut être un entier pair.
b. On suppose alors que x est un entier impair. Montrer que n vérifie nécessairement une certaine propriété que l'on précisera.
3. Montrer que si n remplit cette condition, alors l'équation (\mathrm { E }) admet des solutions entières.
4. Conclure.
4. Conclure.
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93
Énigme
Existe-t-il un entier naturel n appartenant à l'intervalle
[ 1\,860\,868\: ; 1\,906\,623 ] tel que la solution de l'équation x^3 = n soit entière ?
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94
Approfondissement
Cet exercice utilise des formules du chapitre 5. Dans un repère orthonormé ( \mathrm { O }; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), on considère les points \text{M}(a\:; b) et \text{N}(b\:; a) où a et b sont des réels positifs ou nuls. d est la droite d'équation y = x.
1. Soit \text{A} le milieu de [\text{MN}].
a. Justifier que \text{A} appartient à la médiatrice de [\text{MN}].
b. Démontrer que \mathrm { A } \in d.
2. Soit \text{P} un point de d de coordonnées (x \:; x) .
a. Démontrer que \text{MP} = \text{NP} et en déduire que \text{P} appartient à la médiatrice de \text{[MN]}.
b. En déduire que d est la médiatrice de \text{[MN]}.
a. Justifier que \text{A} appartient à la médiatrice de [\text{MN}].
b. Démontrer que \mathrm { A } \in d.
2. Soit \text{P} un point de d de coordonnées (x \:; x) .
a. Démontrer que \text{MP} = \text{NP} et en déduire que \text{P} appartient à la médiatrice de \text{[MN]}.
b. En déduire que d est la médiatrice de \text{[MN]}.
3. En déduire que \text{M} et \text{N} sont symétriques par rapport à d .
4. a. Démontrer que, pour tout x \geqslant 0, les points \text{R}(x \:; x^2) et \text{S}(x^2\: ; x) sont symétriques par rapport à d .
b. Justifier que \text{S} appartient à la courbe de la fonction racine carrée.
c. Que peut-on en déduire sur les courbes de la fonction carré et de la fonction racine carrée ?
4. a. Démontrer que, pour tout x \geqslant 0, les points \text{R}(x \:; x^2) et \text{S}(x^2\: ; x) sont symétriques par rapport à d .
b. Justifier que \text{S} appartient à la courbe de la fonction racine carrée.
c. Que peut-on en déduire sur les courbes de la fonction carré et de la fonction racine carrée ?
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