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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de soci été
Chapitre 4
Synthèse
Exercices de Synthèse
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82
Démo
[Raisonner.]
Soit a \in \mathbb { R }. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble des solutions dans \mathbb { R } de l'équation (\text{E}) : x^2 = a d'inconnue x .
1. On suppose que a \lt 0 .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } ,x ^ { 2 } - a \gt 0.
b. En déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (\text{E}) est vide.
2. On suppose que a = 0 . Montrer que l'équation (\text{E}) admet pour unique solution x = 0 .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } ,x ^ { 2 } - a \gt 0.
b. En déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (\text{E}) est vide.
2. On suppose que a = 0 . Montrer que l'équation (\text{E}) admet pour unique solution x = 0 .
3. On suppose maintenant que a \gt 0 .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } - a = ( x - \sqrt { a } ) ( x + \sqrt { a } ).
b. En déduire les solutions de l'équation x^2 = a .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } - a = ( x - \sqrt { a } ) ( x + \sqrt { a } ).
b. En déduire les solutions de l'équation x^2 = a .
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83
Démo
[Raisonner.]
Soit a \in \mathbb { R }. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble des solutions dans \mathbb { R } de l'inéquation (\text{E}) : x ^ { 2 } \leqslant a d'inconnue x .
1. On suppose que a \lt 0 .
a. Montrer alors que, pour tout x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } \gt a.
b. En déduire que l'ensemble des solutions de l'inéquation (\text{E}) est vide dans ce cas.
2. On suppose que a = 0 .
a. Montrer que x = 0 est solution de (\text{E}).
b. Montrer que l'inéquation x^2 \lt 0 n'a pas de solution.
c. Conclure.
a. Montrer alors que, pour tout x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } \gt a.
b. En déduire que l'ensemble des solutions de l'inéquation (\text{E}) est vide dans ce cas.
2. On suppose que a = 0 .
a. Montrer que x = 0 est solution de (\text{E}).
b. Montrer que l'inéquation x^2 \lt 0 n'a pas de solution.
c. Conclure.
3. On suppose que a \gt 0 .
a. Résolution sur \mathbb { R } ^ { - }.
a. Résolution sur \mathbb { R } ^ { - }.
- Montrer que si - \sqrt { a } \leqslant x \leqslant 0, alors x est solution de (\text{E}).
- Montrer que si x \lt - \sqrt { a }, alors x n'est pas solution de (\text{E}).
- En déduire l'ensemble des solutions de (\text{E}) sur \mathbb { R } ^ { - }.
- Montrer que si 0 \leqslant x \leqslant \sqrt { a }, alors x est solution de (\text{E}).
- Montrer que si x \gt \sqrt { a }, alors x n'est pas solution de (\text{E}).
- En déduire l'ensemble des solutions de (\text{E}) sur \mathbb { R } ^ { + }.
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84
[Raisonner.]
Le but de l'exercice est de déterminer le sens de variation de la fonction f : x \mapsto ( x - 3 ) ^ { 2 } + 1 définie sur \mathbb { R }.
1. Tracer la courbe représentative de la fonction f à l'aide de la calculatrice et observer les variations de f .
2. Étude :
a. Soient a \lt b \leqslant 3. Montrer que a - 3 \lt b - 3 \leqslant 0 et en déduire, à l'aide des variations de la fonction carré, que (a - 3)^2 \gt (b - 3)^2 .
b. En déduire que f(a) \gt f(b) et que f est strictement décroissante sur ] - \infty\: ; 3 ].
c. Soit 3 \leqslant a \lt b. Montrer, de la même manière, que f(a) \lt f(b) et en déduire que f est strictement croissante sur [ 3\: ; + \infty [.
2. Étude :
a. Soient a \lt b \leqslant 3. Montrer que a - 3 \lt b - 3 \leqslant 0 et en déduire, à l'aide des variations de la fonction carré, que (a - 3)^2 \gt (b - 3)^2 .
b. En déduire que f(a) \gt f(b) et que f est strictement décroissante sur ] - \infty\: ; 3 ].
c. Soit 3 \leqslant a \lt b. Montrer, de la même manière, que f(a) \lt f(b) et en déduire que f est strictement croissante sur [ 3\: ; + \infty [.
d. Dresser le tableau de variations de f .
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85
[Chercher.] Le but de cet exercice est d'étudier la fonction racine cubique f qui, à tout x \in \mathbb { R }, associe le réel \sqrt [ 3 ] { x }.
1. On considère deux réels a et b tels que a \lt b .
a. Montrer, à l'aide des variations de la fonction cube, que supposer \sqrt [ 3 ] { a } \geqslant \sqrt [ 3 ] { b } conduit à une absurdité.
b. En déduire que, nécessairement, \sqrt [ 3 ] { a } \lt \sqrt [ 3 ] { b } et que f est strictement croissante sur \mathbb { R }.
2. Montrer que f(0) = 0 et en déduire que :
a. pour tout x \gt 0 , f(x) \gt 0\:;
b. pour tout x \lt 0 , f(x) \lt 0.
3. Déduire des questions 1. et 2. le tableau de signes et le tableau de variations de f .
a. Montrer, à l'aide des variations de la fonction cube, que supposer \sqrt [ 3 ] { a } \geqslant \sqrt [ 3 ] { b } conduit à une absurdité.
b. En déduire que, nécessairement, \sqrt [ 3 ] { a } \lt \sqrt [ 3 ] { b } et que f est strictement croissante sur \mathbb { R }.
2. Montrer que f(0) = 0 et en déduire que :
a. pour tout x \gt 0 , f(x) \gt 0\:;
b. pour tout x \lt 0 , f(x) \lt 0.
3. Déduire des questions 1. et 2. le tableau de signes et le tableau de variations de f .
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4. a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } , f ( - x ) = - f ( x ).
b. Qu'est-ce que cela signifie pour f\:?
c. Quelle propriété géométrique vérifie alors la courbe représentative de f\:?
5. a. À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer dans un repère orthonormé les courbes représentatives de f , de la fonction cube et de la fonction identité ( x \mapsto x ).
b. Quelle conjecture peut-on faire d'un point de vue géométrique ?
b. Qu'est-ce que cela signifie pour f\:?
c. Quelle propriété géométrique vérifie alors la courbe représentative de f\:?
5. a. À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer dans un repère orthonormé les courbes représentatives de f , de la fonction cube et de la fonction identité ( x \mapsto x ).
GeoGebra
b. Quelle conjecture peut-on faire d'un point de vue géométrique ?
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86
[Représenter.] On s'intéresse à la position relative des courbes représentatives des fonctions f : x \mapsto \dfrac { 1 } { x } et g : x \mapsto x ^ { 2 }.
1. a. Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g .
b. Conjecturer la position relative de ces courbes.
GeoGebra
b. Conjecturer la position relative de ces courbes.
2. Montrer que, pour tout x \lt 0 , f(x) \lt g(x) .
3. Pour x \gt 0 , on définit h : x \mapsto \dfrac { g ( x ) } { f ( x ) }.
a. Montrer que h(1) = 1 .
b. Montrer que pour tout x \in ] 0\: ; 1 [ , h ( x ) \lt 1 et en déduire que g(x) \lt f(x).
c. Montrer que pour tout x \gt 1 , h(x) \gt 1 et en déduire que g(x) \gt f(x).
4. Conclure.
3. Pour x \gt 0 , on définit h : x \mapsto \dfrac { g ( x ) } { f ( x ) }.
a. Montrer que h(1) = 1 .
b. Montrer que pour tout x \in ] 0\: ; 1 [ , h ( x ) \lt 1 et en déduire que g(x) \lt f(x).
c. Montrer que pour tout x \gt 1 , h(x) \gt 1 et en déduire que g(x) \gt f(x).
4. Conclure.
Dans la vie professionnelle
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L'ingénieur(e) intégration satellite coordonne tout le montage d'un satellite avant sa mise en orbite, en particulier l'assemblage et la résistance. La mise en orbite fait ensuite appel à des trajectoires hyperboliques ou paraboliques.
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87
[Chercher.]
On souhaite réaliser le solide ci-dessous. Celui-ci est composé d'un cube sur lequel on dispose quatre cubes dont les côtés ont une longueur trois fois inférieure à celle des arêtes du gros cube.
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1. On note x la longueur (en cm) d'une arête du grand cube.
a. À quel intervalle \text{I} le réel x doit-il appartenir ?
b. Déterminer, en fonction de x \in \mathrm { I }, la surface \text{S}(x) de la face avant du solide.
c. Déterminer, en fonction de x \in \mathrm { I }, le volume \text{V}(x) du solide.
2. On souhaite que la surface de la face avant soit de 44 cm2. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ? Quel est alors le volume du solide ?
3. On souhaite à présent que le volume du solide soit égal à \dfrac { 837 } { 8 } cm3.
a. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ?
b. Quelle est alors la surface de la face avant du solide ?
a. À quel intervalle \text{I} le réel x doit-il appartenir ?
b. Déterminer, en fonction de x \in \mathrm { I }, la surface \text{S}(x) de la face avant du solide.
c. Déterminer, en fonction de x \in \mathrm { I }, le volume \text{V}(x) du solide.
2. On souhaite que la surface de la face avant soit de 44 cm2. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ? Quel est alors le volume du solide ?
3. On souhaite à présent que le volume du solide soit égal à \dfrac { 837 } { 8 } cm3.
a. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ?
b. Quelle est alors la surface de la face avant du solide ?
4. Tracer les courbes représentatives C_ { \mathrm { S } } et C _ { \mathrm { V } } de \text{S} et de \text{V} sur \mathbb { R } ^ { + }. Semble-t-il exister une valeur de x non nulle pour laquelle \text{S}(x) = \text{V}(x)\:? Si oui, la déterminer.
5. Conjecturer la position relative des courbes C_ { \mathrm { S } } et C _ { \mathrm { V } }.
GeoGebra
5. Conjecturer la position relative des courbes C_ { \mathrm { S } } et C _ { \mathrm { V } }.
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88
[Chercher.]
Un bricoleur a récupéré deux pieds de deux tables à repasser
différentes : le premier a une longueur de 100 cm et le deuxième de 120 cm. Il souhaite les assembler pour former les pieds d'une nouvelle table à repasser et, sans réfléchir, il les a assemblés respectivement à 36 cm et 49 cm de longueur.
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Après réflexion, il appelle x et f(x) les longueurs respectives, comme indiquées ci-dessous, des pieds 1 et 2, pour obtenir le parallélisme qui convient pour chaque pied après le découpage.
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1. Déduire de l'énoncé les plus grandes valeurs possibles pour x et f(x).
2. Montrer que, pour x \gt 0 , f ( x ) = \dfrac { 1\,764 } { x }.
2. Montrer que, pour x \gt 0 , f ( x ) = \dfrac { 1\,764 } { x }.
3. Déduire de 1. et 2. les plus petites valeurs possibles pour x et f(x).
4. Pour faciliter le découpage des pieds, le bricoleur veut que les longueurs x et f(x) soient égales. Quelle sera la longueur de chacun des pieds ?
4. Pour faciliter le découpage des pieds, le bricoleur veut que les longueurs x et f(x) soient égales. Quelle sera la longueur de chacun des pieds ?
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89
[Raisonner.]
Pour son chaton, Virgile désire construire un enclos provisoire ayant la forme d'un pavé droit sans fond ni toit. La longueur de l'enclos est \ell = 1 m, la largeur est notée \text{L} et la hauteur h . Il possède 5 m2 de contreplaqué et désire utiliser la totalité.
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1. a. Donner l'expression de la surface \text{S} de l'enclos en fonction de \text{L} et la hauteur h .
b. Montrer que 0 \lt h \lt 2\text{,}5 et que \mathrm { L } = \dfrac { 5 } { 2 h } - 1.
2. Sachant que Virgile veut un enclos avec une hauteur comprise entre 0,5 m et 1 m, déterminer un encadrement de \text{L} .
Aide
Ne pas oublier que l'enclos n'a pas de fond ni de toit.
2. Sachant que Virgile veut un enclos avec une hauteur comprise entre 0,5 m et 1 m, déterminer un encadrement de \text{L} .
3. Écrire h en fonction de \text{L} puis déterminer une expression du volume de l'enclos en fonction de \text{L} .
4. Sachant que Virgile veut un enclos avec un volume compris entre 1 m3 et 1,5 m3, déterminer un nouvel encadrement de \text{L} .
5. Est-il possible d'appliquer les deux contraintes ?
4. Sachant que Virgile veut un enclos avec un volume compris entre 1 m3 et 1,5 m3, déterminer un nouvel encadrement de \text{L} .
5. Est-il possible d'appliquer les deux contraintes ?
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90
[Raisonner.]
Lire le paragraphe « Histoire des maths » ci-dessous et expliquer pourquoi la construction de John Wallis est fausse.
Histoire des maths
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John Wallis est un célèbre mathématicien du XVIIe siècle, qui a notamment inventé le symbole \infty pour désigner l'infini. À un moment de sa vie, il pensait néanmoins que les nombres négatifs n'existaient pas, et pour le montrer, il disait : « S'il existe un nombre négatif a , alors il est inférieur à 0 . Or, \dfrac { 1 } { 0 } = \infty et par décroissance de la fonction inverse, on a donc \dfrac { 1 } { a } \gt \dfrac { 1 } { 0 }, d'où \dfrac { 1 } { a } > \infty, ce qui est absurde. »
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91
[Raisonner.] Soient les fonctions f : x \mapsto x et g : x \mapsto \sqrt { x }. 1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer la position relative de C _ { f } et C _ { g } sur ] 0\:; 1 [ puis sur ] 1\:; + \infty [.
2. Démontrer cette conjecture.
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Club de Maths
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92
Défi
Soit n un entier naturel. On s'intéresse à l'équation ( \mathrm { E } )\:x ^ { 2 } = 4 n + 1. Le but de ce défi est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur l'entier naturel n pour que l'équation (\mathrm { E }) admette des solutions entières, c'est-à-dire pour que x \in \mathbb { Z }.
1. Déterminer les solutions réelles de (\mathrm { E }) pour n = 0 , n = 4 , n = 6 , n = 10 , n = 12 , n = 15 , n = 20 .
2. On suppose que x \in \mathbb { Z } est solution de (\mathrm { E }).
a. Montrer que x ne peut être un entier pair.
b. On suppose alors que x est un entier impair. Montrer que n vérifie nécessairement une certaine propriété que l'on précisera.
2. On suppose que x \in \mathbb { Z } est solution de (\mathrm { E }).
a. Montrer que x ne peut être un entier pair.
b. On suppose alors que x est un entier impair. Montrer que n vérifie nécessairement une certaine propriété que l'on précisera.
3. Montrer que si n remplit cette condition, alors l'équation (\mathrm { E }) admet des solutions entières.
4. Conclure.
4. Conclure.
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93
Énigme
Existe-t-il un entier naturel n appartenant à l'intervalle
[ 1\,860\,868\: ; 1\,906\,623 ] tel que la solution de l'équation x^3 = n soit entière ?
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94
Approfondissement
Cet exercice utilise des formules du chapitre 5. Dans un repère orthonormé ( \mathrm { O }; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), on considère les points \text{M}(a\:; b) et \text{N}(b\:; a) où a et b sont des réels positifs ou nuls. d est la droite d'équation y = x.
1. Soit \text{A} le milieu de [\text{MN}].
a. Justifier que \text{A} appartient à la médiatrice de [\text{MN}].
b. Démontrer que \mathrm { A } \in d.
2. Soit \text{P} un point de d de coordonnées (x \:; x) .
a. Démontrer que \text{MP} = \text{NP} et en déduire que \text{P} appartient à la médiatrice de \text{[MN]}.
b. En déduire que d est la médiatrice de \text{[MN]}.
a. Justifier que \text{A} appartient à la médiatrice de [\text{MN}].
b. Démontrer que \mathrm { A } \in d.
2. Soit \text{P} un point de d de coordonnées (x \:; x) .
a. Démontrer que \text{MP} = \text{NP} et en déduire que \text{P} appartient à la médiatrice de \text{[MN]}.
b. En déduire que d est la médiatrice de \text{[MN]}.
3. En déduire que \text{M} et \text{N} sont symétriques par rapport à d .
4. a. Démontrer que, pour tout x \geqslant 0, les points \text{R}(x \:; x^2) et \text{S}(x^2\: ; x) sont symétriques par rapport à d .
b. Justifier que \text{S} appartient à la courbe de la fonction racine carrée.
c. Que peut-on en déduire sur les courbes de la fonction carré et de la fonction racine carrée ?
4. a. Démontrer que, pour tout x \geqslant 0, les points \text{R}(x \:; x^2) et \text{S}(x^2\: ; x) sont symétriques par rapport à d .
b. Justifier que \text{S} appartient à la courbe de la fonction racine carrée.
c. Que peut-on en déduire sur les courbes de la fonction carré et de la fonction racine carrée ?
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