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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de soci été
Chapitre 4
TP / TICE 2
Vers la racine cubique
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Énoncé
Pour tout a \in \mathbb { R }, la racine cubique de a est l'unique réel x solution de l'équation x^3 = a . Souvent, ce nombre est irrationnel et ne peut donc pas s'écrire comme une fraction d'entiers. On cherche donc ici à donner une approximation \sqrt [ 3 ] { a }.
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Objectif
Utiliser des outils numériques afin de donner une approximation du
nombre \sqrt [ 3 ] { a } ( a \in \mathbb { R } ) avec une des deux méthodes de résolution.
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Méthode 1Geogebra
1. Ouvrir GeoGebra et entrer la fonction f(x) = x ^ 3.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. On choisit le réel a = 5. Placer le point \text{A} de coordonnées (0\:; 5) grâce à la commande : \text{A} = (0{,}5).
3. Sélectionner l'outil Parallèle, cliquer sur le point \text{A} puis sur l'axe des abscisses. Avec l'outil Point, placer le point \text{B}, intersection de la droite tracée avec la courbe représentative de f .
4. Tracer la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par \text{B.} Placer \text{C} le point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses.
5. Justifier que l'abscisse de \text{C} est égale à \sqrt [ 3 ] { 5 }.
6. Cliquer sur Options › Arrondi › 10 décimales. En déduire une valeur approchée de \sqrt [ 3 ] { 5 } à 10^{-10} près.
3. Sélectionner l'outil Parallèle, cliquer sur le point \text{A} puis sur l'axe des abscisses. Avec l'outil Point, placer le point \text{B}, intersection de la droite tracée avec la courbe représentative de f .
4. Tracer la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par \text{B.} Placer \text{C} le point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses.
5. Justifier que l'abscisse de \text{C} est égale à \sqrt [ 3 ] { 5 }.
6. Cliquer sur Options › Arrondi › 10 décimales. En déduire une valeur approchée de \sqrt [ 3 ] { 5 } à 10^{-10} près.
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Méthode 2Tableur
On calcule ensuite : x _ { 1 } = \dfrac { 2 x _ { 0 } + \dfrac { a } { \left( x _ { 0 } \right) ^ { 2 } } } { 3 } et on continue : x _ { 2 } = \dfrac { 2 x _ { 1 } + \dfrac { a } { \left( x _ { 1 } \right) ^ { 2 } } } { 3 }, etc.
1. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. Dans la cellule B2, entrer : = (2 * \text{B}1 + 5/(\text{B}1 ^ 2))/3. Étirer cette formule jusqu'à la cellule B16.
3. Dans la cellule C1, entrer : = \text{B}1 ^ 3. Étirer cette formule jusqu'à la cellule C16.
4. Expliquer la colonne B et la colonne C.
5. Que se passe-t-il lorsqu'on change la valeur de B1 ? Donner une valeur approchée de \sqrt [ 3 ] { 5 } à 10^{-10} près.
3. Dans la cellule C1, entrer : = \text{B}1 ^ 3. Étirer cette formule jusqu'à la cellule C16.
4. Expliquer la colonne B et la colonne C.
5. Que se passe-t-il lorsqu'on change la valeur de B1 ? Donner une valeur approchée de \sqrt [ 3 ] { 5 } à 10^{-10} près.
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Programmer l'algorithme de Héron avec Python et comparer les résultats obtenus.
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