Lorsque l'on trace les courbes représentatives des fonctions carré, cube et racine carrée, on remarque que ces fonctions ne croissent pas « à la même vitesse ». Un artisan nous aide à le comprendre.
L'artisan souhaite carreler une terrasse extérieure de forme carrée. Curieux, il réfléchit à l'impact qu'aurait une augmentation de la longueur des côtés par rapport au nombre de carreaux à acheter.

1. On suppose que la terrasse mesure 10 m de côté. Quelle est l'augmentation de l'aire si on augmente chaque côté de 1 m ?

2. Même question si la terrasse mesure finalement 15 m de côté. Même question avec 20 m de côté.

3. Comparer ces résultats.

4. On note g la fonction carré. Pour tout x \gt 0, calculer g(x + 1) - g(x) et faire le lien avec la question précédente.

1. On suppose que la terrasse a une aire de 9 m². De quelle longueur faut-il augmenter celle des côtés du carré pour que l'aire augmente de 1 m² ?

2. Même question lorsque la terrasse a finalement une aire de 25 m². Même question avec une aire de 49 m².

3. Comparer ces résultats.

4. On note h la fonction racine carrée. Pour tout x \gt 0 , calculer h(x + 1) - h(x) .

1. On suppose que le cube a des arêtes de 2 m de longueur. Quelle est l'augmentation du volume du cube si l'on ajoute 1 m à chaque arête ?

2. Même question si les arêtes ont initialement une longueur de 5 m. Même question avec 8 m.

3. Comparer ces résultats.

4. On note k la fonction cube. Pour tout x \gt 0 , calculer k(x + 1) - k(x) .

1. Pour chaque fonction g , h et k , tracer leur courbe représentative avec GeoGebra ou à la calculatrice.

2. Que semblent montrer les résultats obtenus dans chaque partie sur la « vitesse de croissance » des trois fonctions ?

3. Nuancer les résultats obtenus sur l'intervalle [ 0\: ; 1 ]. En classe de première, la notion de dérivée permettra de comprendre précisément les variations d'une fonction.