a. f(x - 1)

b. f(x + 1)

1. ( x + 3 ) ^ { 2 } + 2

2. 1 - 3 x ^ { 2 }

3. 7 x ^ { 3 } - 2

4. \sqrt { x + 3 } - 2

5. 6 - 3 ( x - 1 ) ^ { 2 }

a. Résoudre dans \mathbb { R } l'équation 2x^2 - 18 = 0 .

b. En déduire les solutions de l'équation 2x^4 - 18 = 0 .

2. a. Factoriser 2x^2 - 18 pour x \in \mathbb { R }.

b. En déduire le tableau de signes de la fonction définie sur \mathbb { R } par f(x)=2x^2 - 18.



c. Résoudre dans \mathbb { R } l'inéquation 2x^4 - 18 \geqslant 0 .

7

f est définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 3 x + 4.


On note (\text{E}) l'équation f(x) = 0 . D'après ce graphique, on observe que l'équation (\text{E}) admet trois solutions : une solution entière et deux autres solutions notées \alpha et \beta.

1. Quelle est la solution entière de (\text{E}) ?

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10^{-2} des solutions \alpha et \beta.

3. a. Démontrer que, pour tout réel x , f ( x ) = ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - x - 4 \right).

b. Démontrer que, pour tout réel x ,
x ^ { 2 } - x - 4 = \left( x - \dfrac { 1 - \sqrt { 17 } } { 2 } \right) \left( x - \dfrac { 1 + \sqrt { 17 } } { 2 } \right).

c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes des solutions de (\text{E}).

2. a. Conjecturer la position relative de C_{f} et d en fonction des valeurs de x .

b. Démontrer ces conjectures.

1. À l'aide d'une calculatrice, on obtient l'affichage suivant.

a. Conjecturer les coordonnées des points d'intersection des courbes C_f et C_g.

b. Conjecturer la position relative des courbes C_f et C_g.

2. Démontrer les conjectures émises.

1. Déterminer la forme développée puis factorisée de f .

2. Étudier la position relative de C_f par rapport à l'axe des abscisses.

3. a. Calculer f(0) .

b. d est la droite passant par l'origine du repère et le point de coordonnées \mathrm { A } \left( \dfrac { 1 } { 2 } \:; - 6 \right). Déterminer son équation réduite.

c. Étudier la position relative de C_f et d .

1. Déterminer la forme développée puis factorisée de f .

2. À l'aide d'une calculatrice :
a. Étudier les variations de f sur \mathbb { R } puis dresser son tableau de variations.

b. Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.

3. Étudier le signe de f sur \mathbb { R }.

4. d est la droite d'équation y = 6x + 24 . Étudier la position relative de C_f et d .

1. En posant y = 0 , justifier que f(0) = 1 .

2. Démontrer que, pour tout réel x , f(2x) = [f(x)]^2 .

3. Démontrer que, pour tout réel x, on a f ( - x ) = \dfrac { 1 } { f ( x ) }.

4. Démontrer que, pour tout réel x et y , on a f ( x - y ) = \dfrac { f ( x ) } { f ( y ) }.

1. En posant y = 1 , justifier que f(1) = 0 .

2. Démontrer que, pour tout réel x , f(x^2) = 2[f(x)] .

3. Démontrer que, pour tout réel x , f \left( \dfrac { 1 } { x } \right) = - f ( x ).

4. Démontrer que, pour tout réel x \gt 0 et y \gt 0, on a f \left( \dfrac { x } { y } \right) = f ( x ) - f ( y ).

La fonction logarithme népérien dont voici la représentation graphique vérifie cette relation.

1. f est la fonction définie sur \mathbb { R } par : f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 2 .
a. Vérifier que f(1) = 0 . On dit que 1 est une racine évidente de f , c'est-à-dire une solution simple de l'équation f(x) = 0 .

b. On considère trois réels a , b et c.
Justifier que ( x - 1 ) \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right) = a x ^ { 3 } + ( b - a ) x ^ { 2 } + ( c - b ) x - c.

c. Pour déterminer a , b et c tels que f(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c) , on procède à une identification des coefficients en écrivant le système suivant :
\left\{ \begin{array} { c } { a = 1 } \\ { b - a = 4 } \\ { c - b = - 3 } \\ { - c = - 2 } \end{array} \right.
Résoudre ce système puis en déduire une forme factorisée de f .

2. g est la fonction définie sur \mathbb { R } par : g ( x ) = - x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x - 2. En utilisant la méthode précédente, déterminer les réels a, b, c et d tels que g ( x ) = ( x - d ) \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right).