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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 4
Cours 3
Applications des fonctions de référence
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AÉquations et inéquations
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Soit a un nombre réel.
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Propriété
-
On considère l'équation x ^ { 2 } = a dans \mathbb { R }. Alors :
- si a \lt 0, l'équation n'a pas de solution ;
- si a = 0, l'équation a pour unique solution x = 0 ;
- si a \gt 0, l'équation a deux solutions : x = - \sqrt { a } et x = \sqrt { a }.
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Démonstration
Voir exercice p. 137
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Propriété
-
On considère l'inéquation x ^ { 2 } \leqslant a dans \mathbb { R }. Alors :
- si a \lt 0, l'inéquation n'a pas de solution ;
- si a = 0, l'inéquation a pour unique solution x = 0 ;
- si a \gt 0, l'ensemble des solutions est l'intervalle [ - \sqrt { a }\: ; \sqrt { a } ].
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De manière analogue, on obtient les solutions de x ^ { 2 } \lt a, x ^ { 2 } \geqslant a et x ^ { 2 } \gt a.
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Démonstration
Voir exercice p. 137
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EXCLU. PREMIUM 2023
Déplacez le curseur pour modifier la valeur de k dans l'équation f(x) = k.
GeoGebra
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Application et méthode
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Énoncé
1. Résoudre dans \mathbb { R } les équations suivantes.
a. x ^ { 2 } = 16
b. x ^ { 2 } = 0
c. x ^ { 2 } = 5
d. x ^ { 2 } = - 1
e. x ^ { 2 } = \pi ^ { 2 }
2. Résoudre dans \mathbb { R } les inéquations suivantes.
a. x ^ { 2 } \leqslant 4
b. x ^ { 2 } \lt 25
c. x ^ { 2 } \gt 9
d. x ^ { 2 } \leqslant - 2
a. x ^ { 2 } = 16
b. x ^ { 2 } = 0
c. x ^ { 2 } = 5
d. x ^ { 2 } = - 1
e. x ^ { 2 } = \pi ^ { 2 }
2. Résoudre dans \mathbb { R } les inéquations suivantes.
a. x ^ { 2 } \leqslant 4
b. x ^ { 2 } \lt 25
c. x ^ { 2 } \gt 9
d. x ^ { 2 } \leqslant - 2
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- Pour résoudre une inéquation du type x ^ { 2 } \leqslant a , on trace la droite d'équation y = a.
- Les solutions sont les abscisses des points de la courbe représentative de x \mapsto x ^ { 2 } situés sous cette droite (s'ils existent).
- Les bornes (s'il y en a) s'obtiennent en résolvant l'équation x ^ { 2 } = a.
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Solution
1. Équations :
a. \mathcal { S } = \{ - 4 \:; 4 \}
b. \mathcal { S } = \{ 0 \}
c. \mathcal { S } = \{ - \sqrt { 5 } \:; \sqrt { 5 } \}
d. \mathcal { S } = \emptyset (ensemble vide : pas de solution car -1 \lt 0)
e. \mathcal { S } = \{ - \pi\:; \pi \}
2. Inéquations :
a. \mathcal { S } = [ - 2\:; 2 ]
b. \mathcal { S } = ] - 5\:; 5 [ ( -5 et 5 ne sont pas des solutions)
c. \mathcal { S } = ] - \infty\:; - 3 [ \cup ] 3\:; + \infty [
d. \mathcal { S } = \emptyset
a. \mathcal { S } = \{ - 4 \:; 4 \}
b. \mathcal { S } = \{ 0 \}
c. \mathcal { S } = \{ - \sqrt { 5 } \:; \sqrt { 5 } \}
d. \mathcal { S } = \emptyset (ensemble vide : pas de solution car -1 \lt 0)
e. \mathcal { S } = \{ - \pi\:; \pi \}
2. Inéquations :
a. \mathcal { S } = [ - 2\:; 2 ]
b. \mathcal { S } = ] - 5\:; 5 [ ( -5 et 5 ne sont pas des solutions)
c. \mathcal { S } = ] - \infty\:; - 3 [ \cup ] 3\:; + \infty [
d. \mathcal { S } = \emptyset
Pour s'entraîner
Exercices p. 131 et p. 136
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BPosition relative des courbes sur \mathbb { R } ^ { + }
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Théorème
Soit x un réel positif ou nul.
1. Soit x \in ] 0\: ; 1 [.
a. x ^ { 3 } - x ^ { 2 } = x ^ { 2 } ( x - 1 ). Or, x ^ { 2 } \gt 0 et comme x \lt 1, x - 1 \lt 0. Par multiplication de réels de signes contraires, x ^ { 2 } ( x - 1 ) \lt 0 donc x ^ { 3 } \lt x ^ { 2 }.
b. x ^ { 2 } - x = x ( x - 1 ). Or, x \gt 0 et x \lt 1 d'où x - 1 \lt 0. Par multiplication de réels de signes contraires, x ( x - 1 ) \lt 0 donc x ^ { 2 } \lt x.
2. Soit x \gt 1.
a. x ^ { 3 } - x ^ { 2 } = x ^ { 2 } ( x - 1 ). Or, x ^ { 2 } \gt 0 et comme x \gt 1, x - 1 \gt 0. Par multiplication de réels de même signes, x ^ { 2 } ( x - 1 ) \gt 0 donc x ^ { 3 } \gt x ^ { 2 }.
b. x ^ { 2 } - x = x ( x - 1 ). Or, x \gt 1 donc x \gt 0 et x - 1 \gt 0 . Là encore, par multiplication de réels de même signe, x ( x - 1 ) \gt 0 donc x ^ { 2 } \gt x.
3. 0 = 0 ^ { 2 } = 0 ^ { 3 }, et 1 = 1 ^ { 2 } = 1 ^ { 3 }.
- Si 0 \lt x \lt 1, alors x \gt x ^ { 2 } \gt x ^ { 3 }.
- Si x \gt 1, alors x \lt x ^ { 2 } \lt x ^ { 3 }.
- Si x = 0 ou x = 1, alors x = x ^ { 2 } = x ^ { 3 }.
Démonstration
1. Soit x \in ] 0\: ; 1 [.
a. x ^ { 3 } - x ^ { 2 } = x ^ { 2 } ( x - 1 ). Or, x ^ { 2 } \gt 0 et comme x \lt 1, x - 1 \lt 0. Par multiplication de réels de signes contraires, x ^ { 2 } ( x - 1 ) \lt 0 donc x ^ { 3 } \lt x ^ { 2 }.
b. x ^ { 2 } - x = x ( x - 1 ). Or, x \gt 0 et x \lt 1 d'où x - 1 \lt 0. Par multiplication de réels de signes contraires, x ( x - 1 ) \lt 0 donc x ^ { 2 } \lt x.
2. Soit x \gt 1.
a. x ^ { 3 } - x ^ { 2 } = x ^ { 2 } ( x - 1 ). Or, x ^ { 2 } \gt 0 et comme x \gt 1, x - 1 \gt 0. Par multiplication de réels de même signes, x ^ { 2 } ( x - 1 ) \gt 0 donc x ^ { 3 } \gt x ^ { 2 }.
b. x ^ { 2 } - x = x ( x - 1 ). Or, x \gt 1 donc x \gt 0 et x - 1 \gt 0 . Là encore, par multiplication de réels de même signe, x ( x - 1 ) \gt 0 donc x ^ { 2 } \gt x.
3. 0 = 0 ^ { 2 } = 0 ^ { 3 }, et 1 = 1 ^ { 2 } = 1 ^ { 3 }.
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L'ensemble \mathbb { R } ^ { + } est l'ensemble des réels positifs ou nuls, noté aussi {[ 0 ; + \infty [.} De même, on note \mathbb { R } ^ { - } l'ensemble des réels négatifs ou nuls.
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EXCLU. PREMIUM 2023
Genially
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Théorème
- Si 0 \lt x \lt 1, alors \sqrt { x } \gt x.
- Si x \gt 1, alors \sqrt { x } \lt x.
- Si x = 0 ou x = 1, alors x = \sqrt { x }.
2. Les courbes d'équation y = x ^ { 2 } et y = \sqrt { x } sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
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Démonstration
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EXCLU. PREMIUM 2023
Déplacer le curseur pour comparer les courbes de la fonction cube, carré, identité et racine carrée en différentes abscisses.
GeoGebra
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Application et méthode
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Énoncé
Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant.
a. 0\text{,}998 ^ { 2 }\:;\:0\text{,}998 ^ { 3 }\:;\:0\text{,}998
b. \dfrac { 36 } { 25 }\:;\:\dfrac { 216 } { 125 }\:;\:\dfrac { 6 } { 5 }
c. 2\:;\:\sqrt { 2 }\:;\:2 \sqrt { 2 }
a. 0\text{,}998 ^ { 2 }\:;\:0\text{,}998 ^ { 3 }\:;\:0\text{,}998
b. \dfrac { 36 } { 25 }\:;\:\dfrac { 216 } { 125 }\:;\:\dfrac { 6 } { 5 }
c. 2\:;\:\sqrt { 2 }\:;\:2 \sqrt { 2 }
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Pour ranger a, a ^ { 2 } et a ^ { 3 } dans l'ordre croissant, avec a \gt 0 et a \neq 1 :
- si a \in ] 0\: ; 1 [, alors a ^ { 3 } \lt a ^ { 2 } \lt a ;
- si a \gt 1, alors a \lt a^2 \lt a^3.
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Solution
a. 0 \lt 0\text{,}998 \lt 1 donc 0\text{,}998 ^ { 3 } \lt 0\text{,}998 ^ { 2 } \lt 0\text{,}998
b. \dfrac { 6 } { 5 } \gt 1 donc \dfrac { 6 } { 5 } \lt \left( \dfrac { 6 } { 5 } \right) ^ { 2 } \lt \left( \dfrac { 6 } { 5 } \right) ^ { 3 }
c. \sqrt { 2 } \gt 1 donc \sqrt { 2 } \lt \sqrt { 2 } ^ { 2 } \lt \sqrt { 2 } ^ { 3 }
b. \dfrac { 6 } { 5 } \gt 1 donc \dfrac { 6 } { 5 } \lt \left( \dfrac { 6 } { 5 } \right) ^ { 2 } \lt \left( \dfrac { 6 } { 5 } \right) ^ { 3 }
c. \sqrt { 2 } \gt 1 donc \sqrt { 2 } \lt \sqrt { 2 } ^ { 2 } \lt \sqrt { 2 } ^ { 3 }
Pour s'entraîner
Exercices p. 131 et p. 136
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