Au cours d'un spectacle, un magicien propose à un spectateur le programme de calcul suivant.
« Pensez à un nombre entier positif.
Élevez ce nombre au carré.
Enlevez le double du nombre de départ.
Enlevez 3. »
Le spectateur annonce avoir trouvé 12. Le magicien dit alors : « Vous pensiez au nombre 5 » et la foule applaudit.
On note x le nombre choisi par le spectateur.
Le programme de calcul définit une fonction numérique que l'on peut noter f. On considère, dans les questions suivantes, que f est définie sur \R.

1

Pour tout x \in \mathbb{R}, donner l'expression de f(x) en fonction de x.

2

Vérifier qu'en ayant pensé à 5, on trouve bien 12 après le programme de calcul.

3

Déterminer les éventuels antécédents de -3.

4

Déterminer les éventuels antécédents de -4.

5

Montrer que f(x)=(x-1)^{2}-4 pour tout réel x. Expliquer alors la démarche du magicien.

6

Résoudre dans \R l'équation f(x)=0 puis interpréter le résultat.

Soit f, la fonction trinôme définie sur \R par f(x)=2 x^{2}+x-1.
a) Déterminer les racines de f.

Aide

Les racines d'un trinôme f sont les solutions de l'équation f(x)=0.

b) Voici la représentation graphique de la fonction f :


Dresser le tableau de signes de f(x) en fonction du réel x.
Soit g, la fonction trinôme définie sur \R par g(x)=-\dfrac{1}{2} x^{2}+2 x+\dfrac{5}{2}.
a) Déterminer les racines de g.

b) Voici la représentation graphique de la fonction g :


Dresser le tableau de signes de g(x) en fonction du réel x.

Soit h, la fonction trinôme définie sur \R par h(x)=2 x^{2}-x+1.
a) Déterminer le discriminant de h .

b) Représenter h à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra puis dresser le tableau de signes de h(x) en fonction du réel x.

Soit \ell, la fonction trinôme définie sur \R par \ell(x)=-x^{2}+2 x-2.
a) Déterminer le discriminant de \ell .

b) Représenter \ell à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra puis dresser le tableau de signes de \ell(x) en fonction du réel x.

Déterminer les racines des fonctions trinômes suivantes.
a) f(x)=x^{2}-7 x+12.

b) g(x)=x^{2}+2 x-8.

2

Conjecturer une relation entre les coefficients b et c des trinômes a x^{2}+b x+c précédents et leurs racines.

Déterminer les racines des fonctions trinômes suivantes.
a) h(x)=-x^{2}+7 x-10.

b) \ell(x)=2 x^{2}+4 x-6.

4

Conjecturer une relation utilisant des opérations sur les coefficients a, b et c des trinômes a x^{2}+b x+c précédents et leurs racines.

5

a) Vérifier, sans calculer le discriminant, que les nombres -1 et 4 sont les racines du trinôme 3 x^{2}-9 x-12.

b) La relation conjecturée à la question précédente semble-t-elle toujours valable ?

6

x_1 et x_2 sont deux nombres tels que x_{1}+x_{2}=-2 et x_{1} \times x_{2}=2.
Trouver un trinôme du second degré ayant pour racines x_1 et x_2.