100

[Chercher.]
Les courbes ci-dessous sont des paraboles représentant chacune une fonction trinôme f : x \mapsto a x^{2}+b x+c dans un repère orthogonal.

1. Dans chaque cas, donner le signe de a ainsi que le signe du discriminant \Delta. Donner également le signe de b et de c.

2. En déduire pour chaque cas le signe de la somme et du produit des éventuelles racines.

101

[Calculer.]
Après avoir donné l'ensemble de résolution, résoudre les équations ou inéquations suivantes. 1. \sqrt{x-1}=-2 x+3

2. \sqrt{x^{2}+18}=\sqrt{2 x^{2}+8 x-2}

3. \sqrt{x+5} \leqslant \sqrt{x^{2}-x-2}

4. \dfrac{1}{x+2}>4 x+3

5. \dfrac{3 x^{2}-5}{2 x^{2}+x-3} \leqslant 0

106

[Chercher.]

Albert, un vieil oncle un peu excentrique et féru de mathématiques, a laissé en héritage à ses quatre neveux, Thomas, Paolo, Leïla et Sarah, un coffre contenant toute sa fortune. Ce coffre est verrouillé par un code numérique. Albert voulait faire en sorte que le code ne puisse être révélé en l'absence d'un des neveux. Chacun reçut donc par testament une lettre avec un indice et seule leur mise en commun pouvait permettre de trouver le code.
• Sur la lettre de Thomas était écrit \mathrm{A}(9 \: ; 1 \,673).
• Sur celle de Paolo, il y avait inscrit \mathrm{B}(-18 \: ; 1 \,862).
• Sur celle de Leïla était noté \mathrm{C}(54 \: ; 4 \,598).
• Sur celle de Sarah, il était indiqué qu'elle devrait utiliser le nombre de quatre chiffres formé en accolant le jour et le mois de naissance d'Albert. Ce dernier est né un 14 février.
L'exécuteur testamentaire leur remit alors une lettre commune écrite par Albert. La voici :

« Mes chers petits,
Vous voici chacun en possession d'un indice. Si vous unissez vos forces, vous pourrez découvrir mon trésor. Pardonnez à un vieil homme amoureux des mathématiques de vous proposer un petit exercice. Les trois points dont vous avez les coordonnées sont situés sur une même parabole dont vous devez trouver une équation. Une fois cela fait, le code qui ouvrira mon coffre est l'image par le trinôme en question du nombre indiqué dans la lettre de Sarah. À vous de jouer ! » 1. Déterminer une équation de la parabole qui passe par les points \text{A}, \text{B} et \text{C}.

2. Déterminer le long code qui permet d'ouvrir le coffre.

107

[Calculer.]
Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On souhaite calculer la somme des n premiers entiers naturels et la somme de leur carré.
On note \mathrm{S}_{1}=1+2+3+\ldots+(n-1)+n et \mathrm{S}_{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2}. 1. Soit \text{P} un trinôme tel que, pour tout réel x, \text{P}(x)=a x^{2}+b x+c où a , b et c sont des réels et a \neq 0.

a. Pour tout réel x, exprimer \mathrm{P}(x+1)-\mathrm{P}(x) en fonction de x, a, b et c.

b. Déterminer a, b et c pour que, pour tout x \in \R, \mathrm{P}(x+1)-\mathrm{P}(x)=x.

c. Démontrer que \mathrm{S}_1 =\mathrm{P}(n+1)-\mathrm{P}(1) et en déduire que \mathrm{S}_{1}=\dfrac{n(n+1)}{2}.

2. Soit \text{Q} un polynôme de degré 3 tel que, pour tout réel x, \text{Q}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d, où a , b , c et d sont des réels et a \neq 0.

a. Déterminer a, b, c et d pour que, pour tout x \in \R,
\text{Q}(x+1)-\text{Q}(x)=x^{2}.

b. Démontrer que \mathrm{S}_{2}=\mathrm{Q}(n+1)-\mathrm{Q}(1) et en déduire que S_{2}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}.

3. En s'inspirant des questions précédentes, trouver une formule pour la somme
\mathrm{S}_{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+(n-1)^{3}+n^{3}.

111

Énigme

Un groupe de personnes en excursion avance en ligne droite, encadré par deux guides, Mathilde à l'avant et Amaury à l'arrière. Le groupe avance à vitesse constante, en formant une colonne de 30 m de long. Amaury, qui ferme la marche, décide de rejoindre Mathilde pour lui remettre les billets d'entrée au musée qu'ils vont visiter. Puis, cela fait, il revient immédiatement se placer à l'arrière de la colonne. Durant son aller-retour, la vitesse d'Amaury est restée constante et le groupe a parcouru 30 m.
Quelle est la distance totale parcourue par Amaury pendant son aller-retour ?