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Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 3
Synthèse
Exercices de Synthèse - Objectif BAC
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99
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions trinômes f suivantes :
a. donner son tableau de variations ;
b. déterminer son nombre de racines et, le cas échéant, les calculer ;
c. étudier le signe de f(x) en fonction de x ;
d. tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
a. donner son tableau de variations ;
b. déterminer son nombre de racines et, le cas échéant, les calculer ;
c. étudier le signe de f(x) en fonction de x ;
d. tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
1. f(x)=x^{2}+x+1
2. f(x)=-2 x^{2}+4 x+2
2. f(x)=-2 x^{2}+4 x+2
3. f(x)=-x^{2}+5
4. 4 x^{2}-20 x+25
4. 4 x^{2}-20 x+25
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100
[Chercher.]
Les courbes ci-dessous sont des paraboles représentant chacune une fonction trinôme f : x \mapsto a x^{2}+b x+c dans un repère orthogonal.
2. En déduire pour chaque cas le signe de la somme et du produit des éventuelles racines.
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101
[Calculer.]
Après avoir donné l'ensemble de résolution, résoudre les équations ou inéquations suivantes. 1. \sqrt{x-1}=-2 x+3
2. \sqrt{x^{2}+18}=\sqrt{2 x^{2}+8 x-2}
3. \sqrt{x+5} \leqslant \sqrt{x^{2}-x-2}
4. \dfrac{1}{x+2}>4 x+3
5. \dfrac{3 x^{2}-5}{2 x^{2}+x-3} \leqslant 0
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102
GeoGebra
[Raisonner.]
Soit f la fonction trinôme définie par f(x)=x^{2}-2 et soit \mathcal{P} la parabole représentant f dans un plan rapporté à un repère orthonormé.
Soient m un réel différent de 0 et \left(\mathrm{D}_{m}\right) la droite d'équation y=mx. 1. Prouver que, pour tout réel m différent de 0, \left(\mathrm{D}_{m}\right) et \mathcal{P} ont deux points d'intersection. On note ces points \mathrm{A}_{m} et \mathrm{B}_{m}.
2. Pour m \neq 0, on note \text{I}_{m} le milieu du segment \left[\mathrm{A}_{m} \mathrm{B}_{m}\right].
a. Déterminer, en fonction de m, les coordonnées des points \mathrm{A}_{m} et \mathrm{B}_{m}.
b. Déterminer, en fonction de m, les coordonnées du point \mathrm{I}_{m}.
c. Justifier que les coordonnées de \mathrm{I}_{m} vérifient l'équation y=2 x^{2}.
3. À l'aide de GeoGebra, définir un curseur m qui varie entre -10 et 10 puis tracer la droite \left(\mathrm{D}_{m}\right) ainsi que \mathcal{P}.
Soient m un réel différent de 0 et \left(\mathrm{D}_{m}\right) la droite d'équation y=mx. 1. Prouver que, pour tout réel m différent de 0, \left(\mathrm{D}_{m}\right) et \mathcal{P} ont deux points d'intersection. On note ces points \mathrm{A}_{m} et \mathrm{B}_{m}.
2. Pour m \neq 0, on note \text{I}_{m} le milieu du segment \left[\mathrm{A}_{m} \mathrm{B}_{m}\right].
a. Déterminer, en fonction de m, les coordonnées des points \mathrm{A}_{m} et \mathrm{B}_{m}.
b. Déterminer, en fonction de m, les coordonnées du point \mathrm{I}_{m}.
c. Justifier que les coordonnées de \mathrm{I}_{m} vérifient l'équation y=2 x^{2}.
3. À l'aide de GeoGebra, définir un curseur m qui varie entre -10 et 10 puis tracer la droite \left(\mathrm{D}_{m}\right) ainsi que \mathcal{P}.
4. Faire afficher la trace de \mathrm{I}_{m} lorsque m varie et retrouver le résultat démontré à la question 2.
GeoGebra
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103
GeoGebra
[Raisonner.]
Soit f la fonction trinôme définie sur \R par f(x)=x^{2}-2 x+3.
On appelle \mathcal{P} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
Soient m un réel quelconque et \left(\mathrm{D}_{m}\right) la droite d'équation y = 2x +m.
On appelle \mathcal{P} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
Soient m un réel quelconque et \left(\mathrm{D}_{m}\right) la droite d'équation y = 2x +m.
1. Déterminer les racines de f.
2. Dresser le tableau de variations de f.
3. Tracer \mathcal{P} dans un repère orthonormé à l'aide de GeoGebra.
2. Dresser le tableau de variations de f.
3. Tracer \mathcal{P} dans un repère orthonormé à l'aide de GeoGebra.
GeoGebra
4. Tracer sur le même graphique \left(\text{D}_{-4}\right), \left(\text{D}_{0}\right) et \left(\text{D}_{2}\right).
5. À l'aide de GeoGebra, définir un curseur m qui varie entre -10 et 10. Tracer la droite \left(\text{D}_{m}\right).
6. Faire varier m et discuter du nombre de points d'intersection de \mathcal{P} et de \left(\text{D}_{m}\right) en fonction de m.
7. Lire sur le graphique les coordonnées du point d'intersection dans le cas où il est unique.
8. Retrouver les résultats des deux questions précédentes par le calcul.
9. Choisir une valeur de m pour laquelle \mathcal{P} et \left(\text{D}_{m}\right) ont deux points d'intersection. Tracer \text{I}_{m}, milieu du segment formé par ces deux points.
10. Faire afficher la trace de \text{I}_{m} lorsque m varie. Que constate-t-on ?
11. Prouver le résultat obtenu à la question précédente.
6. Faire varier m et discuter du nombre de points d'intersection de \mathcal{P} et de \left(\text{D}_{m}\right) en fonction de m.
7. Lire sur le graphique les coordonnées du point d'intersection dans le cas où il est unique.
8. Retrouver les résultats des deux questions précédentes par le calcul.
9. Choisir une valeur de m pour laquelle \mathcal{P} et \left(\text{D}_{m}\right) ont deux points d'intersection. Tracer \text{I}_{m}, milieu du segment formé par ces deux points.
10. Faire afficher la trace de \text{I}_{m} lorsque m varie. Que constate-t-on ?
11. Prouver le résultat obtenu à la question précédente.
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104
[Calculer.]
Méthode de Cardan.
L'objectif de cet exercice est de découvrir la méthode de Cardan pour résoudre des équations polynomiales de degré 3 de la forme : x^{3}+p x+q=0 pour p et q des réels quelconques.
Soient p et q deux réels quelconques. On appelle (\mathrm{E}) l'équation : x^{3}+p x+q=0.
L'objectif de cet exercice est de découvrir la méthode de Cardan pour résoudre des équations polynomiales de degré 3 de la forme : x^{3}+p x+q=0 pour p et q des réels quelconques.
Soient p et q deux réels quelconques. On appelle (\mathrm{E}) l'équation : x^{3}+p x+q=0.
1. Soit u et v deux réels. Montrer que :
(u+v)^{3}-3 u \times v(u+v)-\left(u^{3}+v^{3}\right)=0.
2. Ainsi, en posant le changement de variable x=u+v, on obtient l'équation \left(\mathrm{E}^{\prime}\right) :
x^{3}-3 \times u \times v \times x-\left(u^{3}+v^{3}\right)=0.
On cherche donc u et v tels que u \times v=\dfrac{-p}{3} et u^{3}+v^{3}=-q.
Ou encore, on cherche u et v tels que u^{3} \times v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27} et u^{3}+v^{3}=-q.
Si on pose \alpha=u^{3} et \beta=v^{3}, cela revient à chercher \alpha et \beta dont on connaît la somme \text{S} et le produit \text{P} :
\mathrm{P}=\alpha \beta=-\dfrac{p^{3}}{27} et \mathrm{S}=\alpha+\beta=-q.
a. Donner une équation du second degré dont \alpha et \beta sont solutions.
b. Déterminer, en fonction de p et q , le discriminant \Delta de cette équation.
c. Dans le cas où \Delta \geqslant 0, donner, en fonction de p et q, les solutions de cette équation du second degré.
d. En déduire une solution de l'équation (\mathrm{E}).
(u+v)^{3}-3 u \times v(u+v)-\left(u^{3}+v^{3}\right)=0.
2. Ainsi, en posant le changement de variable x=u+v, on obtient l'équation \left(\mathrm{E}^{\prime}\right) :
x^{3}-3 \times u \times v \times x-\left(u^{3}+v^{3}\right)=0.
On cherche donc u et v tels que u \times v=\dfrac{-p}{3} et u^{3}+v^{3}=-q.
Ou encore, on cherche u et v tels que u^{3} \times v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27} et u^{3}+v^{3}=-q.
Si on pose \alpha=u^{3} et \beta=v^{3}, cela revient à chercher \alpha et \beta dont on connaît la somme \text{S} et le produit \text{P} :
\mathrm{P}=\alpha \beta=-\dfrac{p^{3}}{27} et \mathrm{S}=\alpha+\beta=-q.
a. Donner une équation du second degré dont \alpha et \beta sont solutions.
b. Déterminer, en fonction de p et q , le discriminant \Delta de cette équation.
c. Dans le cas où \Delta \geqslant 0, donner, en fonction de p et q, les solutions de cette équation du second degré.
d. En déduire une solution de l'équation (\mathrm{E}).
3. Résoudre l'équation : x^{3}-36 x-91=0. (On utilisera la méthode de Cardan pour trouver une solution x_0 puis on factorisera le polynôme par \left(x-x_{0}\right) grâce à la méthode de son choix. On pourra s'inspirer de l'exercice 78.)
Histoire des maths
Une méthode de résolution générale des équations de degré 4 fut publiée dans l'Ars Magna du mathématicien italien Cardan en 1545, en même temps que celle des équations de degré 3. En effet, dès 1540, Ludovico Ferrari, un élève de Cardan, avait découvert une méthode permettant de trouver les solutions d'une équation polynomiale de degré 4 dès lors que l'on sait résoudre les équations de degré 3.
Pour les équations de degré 5 ou plus, au début du XIXe siècle, Évariste Galois, mathématicien français mort à 20 ans au cours d'un duel, publia une démonstration prouvant l'impossibilité de résoudre l'équation générale du cinquième degré par radicaux. Cela conduisit à la théorie de Galois, théorie révolutionnaire que les mathématiciens mirent plusieurs décennies à comprendre.
Pour les équations de degré 5 ou plus, au début du XIXe siècle, Évariste Galois, mathématicien français mort à 20 ans au cours d'un duel, publia une démonstration prouvant l'impossibilité de résoudre l'équation générale du cinquième degré par radicaux. Cela conduisit à la théorie de Galois, théorie révolutionnaire que les mathématiciens mirent plusieurs décennies à comprendre.
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105
[Calculer.]
Méthode de Tschirnhaus.
L'objectif de cet exercice est de donner une méthode pour résoudre une équation polynomiale de degré 3 de la forme a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 \: (\text{E}), où a, b, c et d des réels quelconques avec a \neq 0.
L'idée est de se ramener, à l'aide d'un changement de variable, à une équation de la forme x^{3}+p x+q=0 avec p et q des réels (méthode de Tschirnhaus) puis d'utiliser la méthode de Cardan vue dans l'exercice précédent pour résoudre cette nouvelle équation.
L'objectif de cet exercice est de donner une méthode pour résoudre une équation polynomiale de degré 3 de la forme a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 \: (\text{E}), où a, b, c et d des réels quelconques avec a \neq 0.
L'idée est de se ramener, à l'aide d'un changement de variable, à une équation de la forme x^{3}+p x+q=0 avec p et q des réels (méthode de Tschirnhaus) puis d'utiliser la méthode de Cardan vue dans l'exercice précédent pour résoudre cette nouvelle équation.
1. u et v étant des réels, développer (u+v)^{3}.
2. Montrer qu'en utilisant le changement de variable \mathrm{X}=x+\dfrac{b}{3 a} \Leftrightarrow x=\mathrm{X}-\dfrac{b}{3 a} on obtient, à partir de l'équation (\mathrm{E}), une équation de la forme \mathrm{X}^{3}+p \mathrm{X}+q=0.
On donnera une expression de p et q en fonction de a, b, c et d.
On donnera une expression de p et q en fonction de a, b, c et d.
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106
[Chercher.] 
Albert, un vieil oncle un peu excentrique et féru de mathématiques, a laissé en héritage à ses quatre neveux, Thomas, Paolo, Leïla et Sarah, un coffre contenant toute sa fortune. Ce coffre est verrouillé par un code numérique. Albert voulait faire en sorte que le code ne puisse être révélé en l'absence d'un des neveux. Chacun reçut donc par testament une lettre avec un indice et seule leur mise en commun pouvait permettre de trouver le code.
• Sur la lettre de Thomas était écrit \mathrm{A}(9 \: ; 1 \,673).
• Sur celle de Paolo, il y avait inscrit \mathrm{B}(-18 \: ; 1 \,862).
• Sur celle de Leïla était noté \mathrm{C}(54 \: ; 4 \,598).
• Sur celle de Sarah, il était indiqué qu'elle devrait utiliser le nombre de quatre chiffres formé en accolant le jour et le mois de naissance d'Albert. Ce dernier est né un 14 février.
L'exécuteur testamentaire leur remit alors une lettre commune écrite par Albert. La voici :
« Mes chers petits,
Vous voici chacun en possession d'un indice. Si vous unissez vos forces, vous pourrez découvrir mon trésor. Pardonnez à un vieil homme amoureux des mathématiques de vous proposer un petit exercice. Les trois points dont vous avez les coordonnées sont situés sur une même parabole dont vous devez trouver une équation. Une fois cela fait, le code qui ouvrira mon coffre est l'image par le trinôme en question du nombre indiqué dans la lettre de Sarah. À vous de jouer ! » 1. Déterminer une équation de la parabole qui passe par les points \text{A}, \text{B} et \text{C}.
2. Déterminer le long code qui permet d'ouvrir le coffre.
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107
[Calculer.]
Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On souhaite calculer la somme des n premiers entiers naturels et la somme de leur carré.
On note \mathrm{S}_{1}=1+2+3+\ldots+(n-1)+n et \mathrm{S}_{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2}. 1. Soit \text{P} un trinôme tel que, pour tout réel x, \text{P}(x)=a x^{2}+b x+c où a , b et c sont des réels et a \neq 0.
a. Pour tout réel x, exprimer \mathrm{P}(x+1)-\mathrm{P}(x) en fonction de x, a, b et c.
b. Déterminer a, b et c pour que, pour tout x \in \R, \mathrm{P}(x+1)-\mathrm{P}(x)=x.
c. Démontrer que \mathrm{S}_1 =\mathrm{P}(n+1)-\mathrm{P}(1) et en déduire que \mathrm{S}_{1}=\dfrac{n(n+1)}{2}.
2. Soit \text{Q} un polynôme de degré 3 tel que, pour tout réel x, \text{Q}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d, où a , b , c et d sont des réels et a \neq 0.
a. Déterminer a, b, c et d pour que, pour tout x \in \R,
\text{Q}(x+1)-\text{Q}(x)=x^{2}.
b. Démontrer que \mathrm{S}_{2}=\mathrm{Q}(n+1)-\mathrm{Q}(1) et en déduire que S_{2}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}.
3. En s'inspirant des questions précédentes, trouver une formule pour la somme
\mathrm{S}_{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+(n-1)^{3}+n^{3}.
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108
[Calculer.]
En utilisant un changement de variables, résoudre les équations suivantes.
1. x-2 \sqrt{x}-3=0
2. \left(\dfrac{x}{x-1}\right)^{2}-\dfrac{5 x}{2 x-2}+1=0
2. \left(\dfrac{x}{x-1}\right)^{2}-\dfrac{5 x}{2 x-2}+1=0
3. \left(x^{2}-x-1\right)^{2}-3 x^{2}+3 x-1=0
4. 2 x^{2}-7|x|-4=0
4. 2 x^{2}-7|x|-4=0
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109
En Physique
[Chercher.]
Rappels de physique : On rappelle que dans un montage en parallèle (figure 1), la résistance équivalente (en ohms) est déterminée par \dfrac{1}{\mathrm{R}_{\mathrm{eq}}}=\dfrac{1}{\mathrm{R}_{1}}+\dfrac{1}{\mathrm{R}_{2}}.
Dans un montage en série (figure 2), la résistance équivalente est donnée par \mathrm{R}_{\mathrm{eq}}=\mathrm{R}_{1}+\mathrm{R}_{2}.
On considère les montages ci-dessous (figure 3) où x est un réel strictement positif.
1. Déterminer la résistance équivalente \mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{1}} pour le premier montage en fonction de x et \text{R}.
2. Déterminer la résistance équivalente \mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{2}} pour le second montage en fonction de x et \text{R}.
2. Déterminer la résistance équivalente \mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{2}} pour le second montage en fonction de x et \text{R}.
3. Déterminer une équation dont x est solution sachant que \mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{1}}=\mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{\mathrm{2}}}.
4. Sachant que \text{R} = 100 ohms, déterminer x.
4. Sachant que \text{R} = 100 ohms, déterminer x.
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Club de Maths
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110
Défi
Résoudre l'équation suivante.
\left(x^{2}-3 x-5\right)^{2}-3\left(x^{2}-3 x-5\right)-5=x
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112
Énigme
Trouver deux réels non nuls, inverses l'un de l'autre, tels que la somme du carré de leur somme avec la somme de leur carré est égale à 10.
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111
Énigme
Un groupe de personnes en excursion avance en ligne droite, encadré par deux guides, Mathilde à l'avant et Amaury à l'arrière. Le groupe avance à vitesse constante, en formant une colonne de 30 m de long. Amaury, qui ferme la marche, décide de rejoindre Mathilde pour lui remettre les billets d'entrée au musée qu'ils vont visiter. Puis, cela fait, il revient immédiatement se placer à l'arrière de la colonne. Durant son aller-retour, la vitesse d'Amaury est restée constante et le groupe a parcouru 30 m.
Quelle est la distance totale parcourue par Amaury pendant son aller-retour ?
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Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
