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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 3
Cours 3
Propriétés supplémentaires
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ASomme et produit de racines
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Théorème
Si le trinôme a x^{2}+b x+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur
somme \text{S} et leur produit \text{P} vérifient : \text{S}=\dfrac{-b}{a} et \text{P}=\dfrac{c}{a}.
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Démonstration
Dans la première démonstration de la partie 2, on a établi que si x_1 et x_2 sont les racines d'un trinôme (éventuellement confondues), alors x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a} et x_{1} \times x_{2}=\dfrac{c}{a}.
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Propriété
Deux réels ont pour somme \text{S} et pour produit \text{P} si et seulement si ils sont solutions de l'équation x^{2}-\mathrm{S} x+\mathrm{P}=0.
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Il s'agit d'une équivalence. Pour démontrer cette propriété, on montre un sens puis la réciproque.
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Démonstration
- Si deux réels x_1 et x_2 vérifient x_{1}+x_{2}=\mathrm{S} et x_{1} x_{2}=\mathrm{P}, alors : x_{2}=\mathrm{S}-x_{1} et \mathrm{P}=x_{1}\left(\mathrm{S}-x_{1}\right) et donc x_{1}^{2}-\mathrm{S} x_{1}+\mathrm{P}=0. Dans ce cas, x_1 est bien solution de x^{2}-\mathrm{S} x+\mathrm{P}. La démonstration est la même pour x_2.
- Réciproquement, si x_1 et x_2 sont solutions de x^{2}-\mathrm{S} x+\mathrm{P}=0, alors, d'après le théorème précédent, x_{1}+x_{2}=\dfrac{\mathrm{S}}{1}, soit x_{1}+x_{2}=\mathrm{S} et x_{1} x_{2}=\dfrac{\mathrm{P}}{1}, ainsi x_{1} x_{2} \: = \: \mathrm{P}.
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Exemple
L'équation 2 x^{2}-x-1=0 admet x_{1}=1 comme solution évidente.
L'autre solution x_2 vérifie donc 1 \times x_{2}=\dfrac{-1}{2}. D'où x_{2}=\dfrac{-1}{2}.
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On parle de solution évidente lorsqu'un réel « simple‑» est solution de l'équation considérée. On teste quelques nombres comme 0 ; 1 ; -1 ; 2 et -2.
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Application et méthode
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Énoncé
Trouver, s'ils existent, deux nombres réels dont la somme est 4 et le produit 1.
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- On utilise la propriété du cours. Les deux nombres, s'ils existent, sont solutions de l'équation x^{2}-4 x+1=0.
- On résout l'équation.
- Les solutions, si elles existent, sont les nombres recherchés.
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Solution
S'ils existent, ces deux nombres sont solutions de l'équation x^{2}-4 x+1=0.
On a \Delta=12. \Delta>0 donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
x_{1}=\dfrac{-(-4)-\sqrt{12}}{2} et x_{2}=\dfrac{-(-4)+\sqrt{12}}{2}.
Or \sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=\sqrt{4} \times \sqrt{3}=2 \sqrt{3}.
Donc on a : x_{1}=\dfrac{4-2 \sqrt{3}}{2} et x_{2}=\dfrac{4+2 \sqrt{3}}{2}, soit {x_{1}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}} et {x_{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{3})}{2}}.
Ainsi x_{1}=2-\sqrt{3} et x_{2}=2+\sqrt{3}.
Les nombres recherchés sont 2-\sqrt{3} et 2+\sqrt{3}.
On a \Delta=12. \Delta>0 donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
x_{1}=\dfrac{-(-4)-\sqrt{12}}{2} et x_{2}=\dfrac{-(-4)+\sqrt{12}}{2}.
Or \sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=\sqrt{4} \times \sqrt{3}=2 \sqrt{3}.
Donc on a : x_{1}=\dfrac{4-2 \sqrt{3}}{2} et x_{2}=\dfrac{4+2 \sqrt{3}}{2}, soit {x_{1}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}} et {x_{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{3})}{2}}.
Ainsi x_{1}=2-\sqrt{3} et x_{2}=2+\sqrt{3}.
Les nombres recherchés sont 2-\sqrt{3} et 2+\sqrt{3}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 87
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BDiscriminant et sommet de parabole
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Propriété
La courbe représentative d'une fonction trinôme définie sur \R par f(x)=a x^{2}+b x+c est une parabole de sommet \text{S} qui a pour coordonnées \left(\dfrac{-b}{2 a} \: ;-\dfrac{\Delta}{4 a}\right).
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Dans le chapitre 2, les coordonnées du sommet \text{S} sont données par (\alpha \: ; \beta). On a donc \alpha=\dfrac{-b}{2 a} et \beta=\dfrac{-\Delta}{4 a}.
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Démonstration
On a f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right].
Le sommet \text{S} de la parabole a pour abscisse \dfrac{-b}{2 a}.
On a f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=a\left[\left(-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]
=a\left(-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right)=-\dfrac{\Delta}{4 a}.
Donc \text{S} a pour coordonnées \left(-\dfrac{b}{2 a} \: ;-\dfrac{\Delta}{4 a}\right).
Le sommet \text{S} de la parabole a pour abscisse \dfrac{-b}{2 a}.
On a f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=a\left[\left(-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]
=a\left(-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right)=-\dfrac{\Delta}{4 a}.
Donc \text{S} a pour coordonnées \left(-\dfrac{b}{2 a} \: ;-\dfrac{\Delta}{4 a}\right).
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Exemple
Soit f la fonction trinôme définie par f(x)=3 x^{2}-9 x+8.
On a \dfrac{-b}{2 a}=-\left(\dfrac{-9}{6}\right), soit \dfrac{-b}{2 a}=\dfrac{3}{2} et \Delta=-15.
Donc \dfrac{-\Delta}{4 a}=\dfrac{15}{12}, soit \dfrac{-\Delta}{4 a}=\dfrac{5}{4}.
Ainsi, le sommet \text{S} de la parabole représentant f a pour coordonnées \left(\dfrac{3}{2} \: ; \dfrac{5}{4}\right).
On a \dfrac{-b}{2 a}=-\left(\dfrac{-9}{6}\right), soit \dfrac{-b}{2 a}=\dfrac{3}{2} et \Delta=-15.
Donc \dfrac{-\Delta}{4 a}=\dfrac{15}{12}, soit \dfrac{-\Delta}{4 a}=\dfrac{5}{4}.
Ainsi, le sommet \text{S} de la parabole représentant f a pour coordonnées \left(\dfrac{3}{2} \: ; \dfrac{5}{4}\right).
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Application et méthode
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Énoncé
Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur \R par f(x)=2 x^{2}-2 x+3.
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1. On détermine les coordonnées du sommet de la parabole.
2. On regarde le signe de a pour déterminer le sens de variation de f.
3. On dresse le tableau de variations.
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Solution
Ici a = 2 , b = -2 et c = 3. On a \dfrac{-b}{2 a}=\dfrac{1}{2} et \Delta=-20.
Donc \dfrac{-\Delta}{4 a}=-\left(\dfrac{-20}{8}\right)=\dfrac{5}{2}.
Par conséquent, f est représentée par une parabole de sommet \text{S}\left(\dfrac{1}{2} \: ; \dfrac{5}{2}\right).
Étant donné que a>0, voici le tableau de variations de f.
Donc \dfrac{-\Delta}{4 a}=-\left(\dfrac{-20}{8}\right)=\dfrac{5}{2}.
Par conséquent, f est représentée par une parabole de sommet \text{S}\left(\dfrac{1}{2} \: ; \dfrac{5}{2}\right).
Étant donné que a>0, voici le tableau de variations de f.
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Pour s'entraîner
Exercices p. 87 ; et et p. 93
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