Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Léonard de Vinci a laissé plusieurs citations célèbres et l'une d'elles semble tout particulièrement destinée aux élèves du cours de mathématiques. Elle a été cryptée avec un code de César. L'objectif de cet exercice est de trouver la clé de codage puis de déchiffrer cette phrase. Cette clé sera trouvée grâce à un trinôme dont il faut obtenir les trois coefficients.

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Partie 1

Un des coefficients du trinôme qui donnera la clé de codage est la racine entière positive du polynôme \text{P} défini sur \R par \mathrm{P}(x)=10 x^{3}-37 x^{2}-13 x+4.

1. Vérifier que \dfrac{-1}{2} est une racine de \text{P}.

2. On admet que \text{P} est factorisable par \left(x+\dfrac{1}{2}\right).
Déterminer trois réels a , b et c tels que \mathrm{P}(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(a x^{2}+b x+c\right) pour tout x réel.

3. Déterminer toutes les racines de \text{P}.

4. En déduire le coefficient demandé.

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Partie 2

Soit f le trinôme défini sur \R par f(x)=3 x^{2}+5 x-2. Soit g le trinôme défini sur \R par g(x)=2 x^{2}-x-10. Un des coefficients du trinôme qui donnera la clé de codage est le plus petit entier naturel d'un intervalle sur lequel f et g sont positives toutes les deux.
Retrouver ce nombre en étudiant le signe de ces fonctions.

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Partie 3

f est une fonction trinôme vérifiant : f(1)=18 \: ; f(-1)=2 \: ;
\Delta=160.
Un des coefficients du trinôme qui donnera la clé de codage est l'ordonnée du sommet de la parabole \mathcal { P } représentant la fonction f. Cette ordonnée est un nombre entier.
Déterminer f à l'aide des indications ci-dessus et d'un système, puis déterminer le coefficient demandé.

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Mise en commun

Le trinôme recherché est de la forme a x^{2}+b x+c où c est la solution de la partie 1, a est la solution de la partie 2 et b est la solution de la partie 3. 1. Écrire l'expression du trinôme recherché.

2. La différence entre la somme et le produit des racines de ce trinôme est la clé permettant de décoder le message de Léonard de Vinci. Décoder le message.

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Pour aller plus loin

À l'aide de Python, effectuer un programme permettant de déchiffrer un message avec un code de César lorsque la clé est connue.

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