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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 3
Cours 2
Factorisation et signe du trinôme
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AFactorisation du trinôme
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Théorème
On considère un trinôme du second degré a x^{2}+b x+c.
- Si \Delta\lt0 : on sait que le trinôme n'a pas de racine réelle. Il n'est pas factorisable dans \R.
- Si \Delta=0 : on sait que le trinôme a une racine double : x_{0}=\dfrac{-b}{2 a}.
Pour tout réel x, a x^{2}+b x+c=a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}. - Si \Delta>0 : on sait que le trinôme a deux racines réelles distinctes :
x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.
Pour tout réel x, a x^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right).
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Dans le cas où \Delta = 0, on retrouve une identité remarquable.
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Démonstration
Dans le cas où \Delta \geqslant 0, on note x_1 et x_2 les racines du trinôme éventuellement confondues.
Pour tout réel x,
a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=a x^{2}-a\left(x_{1}+x_{2}\right) x+a x_{1} x_{2} avec a \neq 0.
Pour tout réel x,
a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=a x^{2}-a\left(x_{1}+x_{2}\right) x+a x_{1} x_{2} avec a \neq 0.
- Si les deux racines sont confondues, on a x_{1}=x_{2}=-\dfrac{b}{2 a}.
Puisque \Delta = 0 =b^2 - 4ac, alors b^2 = 4ac.
On obtient alors x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a} et x_{1} x_{2}=\dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}=\dfrac{4 a c}{4 a^{2}}=\dfrac{c}{a}.
Ainsi, a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)
=a x^{2}-a\left(\dfrac{-b}{a}\right) x+a \times \dfrac{c}{a}
=a x^{2}+b x+c. - Si les deux racines sont distinctes : x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.
Ainsi, x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2 b}{2 a}=\dfrac{-b}{a}.
De plus, x_{1} x_{2}=\dfrac{(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})}{4 a^{2}}=\dfrac{b^{2}-\Delta}{4 a^{2}} =\dfrac{4 a c}{4 a^{2}}=\dfrac{c}{a}.
On a donc également :
a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)
=a x^{2}-a\left(-\dfrac{b}{a}\right) x+a \times \dfrac{c}{a}
=a x^{2}+b x+c.
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On démontre le cas \Delta \lt 0 en raisonnant par l'absurde.
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Exemples
1. Soit f la fonction trinôme définie sur \R par f(x)=2 x^{2}+x-3.
Ici, a=2, \Delta=25, x_{1}=\dfrac{-3}{2} et x_{2}=1 donc, pour tout réel x, f(x)=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x-1).
2. Soit g la fonction trinôme définie sur \R par g(x)=x^{2}+x+1. Ici, \Delta = -3 donc g n'est pas factorisable dans \R .
3. Soit h la fonction trinôme définie sur \R par h(x)=9 x^{2}-30 x+25.
Ici, a=9, \Delta=0 \text { et } x_{0}=\dfrac{5}{3} donc, pour tout réel x , h(x)=9\left(x-\dfrac{5}{3}\right)^{2}.
Ici, a=2, \Delta=25, x_{1}=\dfrac{-3}{2} et x_{2}=1 donc, pour tout réel x, f(x)=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x-1).
2. Soit g la fonction trinôme définie sur \R par g(x)=x^{2}+x+1. Ici, \Delta = -3 donc g n'est pas factorisable dans \R .
3. Soit h la fonction trinôme définie sur \R par h(x)=9 x^{2}-30 x+25.
Ici, a=9, \Delta=0 \text { et } x_{0}=\dfrac{5}{3} donc, pour tout réel x , h(x)=9\left(x-\dfrac{5}{3}\right)^{2}.
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Application et méthode
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Énoncé
On pose \mathrm{A}(x)=\dfrac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}-6 x-7}. Après avoir précisé l'ensemble des réels x pour lesquels \mathrm{A}(x) existe,
simplifier l'écriture de \mathrm{A}(x).
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1. On détermine les racines des deux trinômes. Celles du dénominateur sont les valeurs interdites de \text{A}(x).
2. On factorise les deux trinômes.
3. On simplifie la fraction rationnelle \text{A}(x).
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Solution
On détermine les racines de x^{2}-6 x-7.
\Delta=b^{2}-4 a c avec a=1, b=-6 et c=-7.
On trouve \Delta=64 . \Delta>0 donc il y a deux racines réelles : x_{1}=-1 et x_{2}=7.
On a x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) pour tout x \in \mathbb{R}.
\mathrm{A}(x) est définie sur \mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}.
On détermine les racines de 2 x^{2}+3 x+1.
\Delta=b^{2}-4 a c avec a=2\text{, }b=3 et c=1.
On trouve alors \Delta=1 .\text{ }\Delta>0 donc le polynôme {2 x^{2}+3 x+1} admet alors deux racines :
x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=-1 et x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\dfrac{-1}{2}.
Ainsi, pour tout réel x, 2 x^{2}+3 x+1=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+1).
Pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}, on a \mathrm{A}(x)=\dfrac{2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+1)}{(x+1)(x-7)}.
Donc \mathrm{A}(x)=\dfrac{2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-7} ou encore \mathrm{A}(x)=\dfrac{2 x+1}{x-7} pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}.
\Delta=b^{2}-4 a c avec a=1, b=-6 et c=-7.
On trouve \Delta=64 . \Delta>0 donc il y a deux racines réelles : x_{1}=-1 et x_{2}=7.
On a x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) pour tout x \in \mathbb{R}.
\mathrm{A}(x) est définie sur \mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}.
On détermine les racines de 2 x^{2}+3 x+1.
\Delta=b^{2}-4 a c avec a=2\text{, }b=3 et c=1.
On trouve alors \Delta=1 .\text{ }\Delta>0 donc le polynôme {2 x^{2}+3 x+1} admet alors deux racines :
x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=-1 et x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\dfrac{-1}{2}.
Ainsi, pour tout réel x, 2 x^{2}+3 x+1=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+1).
Pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}, on a \mathrm{A}(x)=\dfrac{2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+1)}{(x+1)(x-7)}.
Donc \mathrm{A}(x)=\dfrac{2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-7} ou encore \mathrm{A}(x)=\dfrac{2 x+1}{x-7} pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}.
Pour s'entraîner
Exercices p. 87 et p. 91
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BSigne du trinôme
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Théorème
On considère le trinôme a x^{2}+b x+c.
Si \Delta \leqslant 0, le trinôme est du signe de a.
Si \Delta>0, le trinôme est du signe de a pour x \in ]-\infty \: ; x_{1} ] \cup\left[x_{2} \: ;+\infty[\right. et du signe de -a pour x \in\left[x_{1} \: ; x_{2}\right], où x_1 et x_2 sont les racines du trinôme telles que x_1 \lt x_2.
Si \Delta \leqslant 0, le trinôme est du signe de a.
Si \Delta>0, le trinôme est du signe de a pour x \in ]-\infty \: ; x_{1} ] \cup\left[x_{2} \: ;+\infty[\right. et du signe de -a pour x \in\left[x_{1} \: ; x_{2}\right], où x_1 et x_2 sont les racines du trinôme telles que x_1 \lt x_2.
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On dit aussi que a x^{2}+b x+c est du signe de a à l'extérieur des racines
s'il y en a et du signe contraire de a entre les racines.
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Démonstration
On a : a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right].
Si \Delta\lt0, alors \dfrac{-\Delta}{4 a^{2}}>0 et \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0 pour tout réel x.
Donc \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}>0 pour tout réel x.
Si \Delta=0, on a a x^{2}+b x+c=a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.
Or, \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0 pour tout réel x .
Ainsi, a x^{2}+b x+c est du signe de a pour tout réel x et s'annule en \dfrac{-b}{2 a}.
Si \Delta>0, on a a x^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) où x_1 et x_2 sont les racines du trinôme avec x_1 \lt x_2.
On dresse le tablau de signe suivant.
Donc a x^{2}+b x+c est du signe de a sauf entre les deux racines x_1 et x_2.
Si \Delta\lt0, alors \dfrac{-\Delta}{4 a^{2}}>0 et \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0 pour tout réel x.
Donc \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}>0 pour tout réel x.
Si \Delta=0, on a a x^{2}+b x+c=a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.
Or, \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0 pour tout réel x .
Ainsi, a x^{2}+b x+c est du signe de a pour tout réel x et s'annule en \dfrac{-b}{2 a}.
Si \Delta>0, on a a x^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) où x_1 et x_2 sont les racines du trinôme avec x_1 \lt x_2.
On dresse le tablau de signe suivant.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Donc a x^{2}+b x+c est du signe de a sauf entre les deux racines x_1 et x_2.
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Exemple
On considère la fonction trinôme f(x)=2 x^{2}+x-3. On a \Delta=25 donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes qui sont : \dfrac{-3}{2} et 1.
Comme a=2>0, on a le tableau de signes suivant.
Comme a=2>0, on a le tableau de signes suivant.
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Application et méthode
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Énoncé
Résoudre dans \R les inéquations suivantes.
1. 3 x^{2}+5 x-2 \geqslant 0
2. -x^{2}+x-7>0
1. 3 x^{2}+5 x-2 \geqslant 0
2. -x^{2}+x-7>0
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- On détermine les racines du trinôme si elles existent.
- On utilise le théorème : un trinôme a x^{2}+b x+c est du signe de a, sauf entre les racines s'il y en a.
En regardant le signe de a , on donne le signe du trinôme à l'aide d'un tableau de signes par exemple. - On résout l'inéquation donnée.
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Solution
1. On cherche les racines du trinôme 3 x^{2}+5 x-2. On a \Delta=49 et 49>0.
Il y a deux racines : x_{1}=-2 et x_{2}=\dfrac{1}{3}.
Ici a=3. On dresse le tableau de signes du trinôme.
3 x^{2}+5 x-2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in ]-\infty \: ;-2 ] \cup\left[\dfrac{1}{3} \: ;+\infty[\right. .
Il y a deux racines : x_{1}=-2 et x_{2}=\dfrac{1}{3}.
Ici a=3. On dresse le tableau de signes du trinôme.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
3 x^{2}+5 x-2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in ]-\infty \: ;-2 ] \cup\left[\dfrac{1}{3} \: ;+\infty[\right. .
2. On cherche les racines du trinôme -x^{2}+x-7. On a \Delta=-27 et -27 \lt 0.
Il n'y a pas de racine réelle. Ici a=-1 donc a \lt 0.
Donc -x^{2}+x-7 \lt 0 pour tout réel x .
Par conséquent, l'inéquation -x^{2}+x-7>0 n'admet aucune solution dans \R.
L'ensemble des solutions est \mathrm{S}=\emptyset.
Il n'y a pas de racine réelle. Ici a=-1 donc a \lt 0.
Donc -x^{2}+x-7 \lt 0 pour tout réel x .
Par conséquent, l'inéquation -x^{2}+x-7>0 n'admet aucune solution dans \R.
L'ensemble des solutions est \mathrm{S}=\emptyset.
Pour s'entraîner
Exercices p. 87 et p. 91
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