1. Programmer dans la console ci-dessous, à l'aide de Python, l'algorithme de Hörner pour calculer \mathrm{P}(\alpha) où \text{P} est un polynôme de degré 3 donné et \alpha un réel donné.

2. Utiliser l'algorithme de Hörner pour calculer l'image de 1, -3 et \sqrt{2} par les polynômes suivants :
• \text{P}_{1}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1
• \text{P}_{2}(x)=-2 x^{3}+x^{2}-3 x-3
• \mathrm{P}_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-3 x+1

3. Comment modifier cet algorithme pour obtenir les coefficients de Hörner lorsque \alpha est une racine de \text{P} ?

4. Utiliser l'algorithme modifié pour obtenir à la main une factorisation de \mathrm{P}_{3}.

5. Déterminer toutes les racines de \mathrm{P}_{3}.

Aide

La fonction créée prend comme arguments les coefficients de \text{P} et \alpha.

On considère un polynôme \text{P} défini par \mathrm{P}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1. Il s'agit d'utiliser un tableur pour calculer les coefficients de Hörner et pour calculer \mathrm{P}(\alpha) pour un \alpha donné.

Une ligne du tableur contiendra les coefficients de \text{P}. Une cellule à part contiendra la valeur de \alpha. Sur une ligne devront apparaître les calculs intermédiaires en commençant par la valeur 0 pour initialiser le processus.
Une autre ligne contiendra les coefficients de Hörner (on pourra commencer également par la valeur 0) et la dernière cellule de cette ligne contiendra \mathrm{P}(\alpha).

1. Déterminer les formules à entrer dans les lignes 3 et 4 pour obtenir les résultats voulus en étirant les formules vers la droite, puis entrez-les dans le tableur. Où lit-on \mathrm{P}(\alpha) \: ?

2. Utiliser la feuille de calcul pour calculer l'image de 1, -3 et \sqrt{2} par les polynômes suivants :
• \text{P}_{1}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1
• \text{P}_{2}(x)=-2 x^{3}+x^{2}-3 x-3
• \mathrm{P}_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-3 x+1

3. Donner une racine du polynôme \text{P}_3.

4. Utiliser les coefficients de Hörner donnés par la feuille de calcul pour obtenir une factorisation de \text{P}_3 puis déterminer toutes les racines de \text{P}_3.