Mathématiques 1re Spécialité
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Méthode de Hörner
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Énoncé
Soient \text{P} un polynôme quelconque et \alpha un réel. L'algorithme de Hörner (ou schéma de Hörner) est un algorithme permettant de calculer \text{P}(\alpha) avec un nombre d'opérations réduit par rapport à la méthode classique. Dans le cas où \alpha est une racine du polynôme \text{P}, les coefficients obtenus, appelés coefficients de Hörner, permettent de factoriser \text{P}.
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Question préliminaire
On suppose que \text{P} est un polynôme de degré 3 et on note \mathrm{P}(x)=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} où a_{3}, a_{2}, a_{1} et a_{0} sont des réels tels que a_{3} \neq 0.
1. Démontrer que \mathrm{P}(\alpha)=a_{0}+\alpha\left[a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right)\right]. L'algorithme décrit par la figure permet donc de calculer \mathrm{P}(\alpha).
2. Montrer que si \alpha est une racine de \text{P}, alors
\mathrm{P}(x)=(x-\alpha)\left[\textcolor{orange}{a_{3}} x^{2}+\left(\textcolor{orange}{a_{2}+\alpha a_{3}}\right) x+\textcolor{orange}{a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right)}\right].
Les coefficients de Hörner sont donc a_{3} \: ; a_{2}+\alpha a_{3} \: ; a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right).
1. Démontrer que \mathrm{P}(\alpha)=a_{0}+\alpha\left[a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right)\right]. L'algorithme décrit par la figure permet donc de calculer \mathrm{P}(\alpha).
2. Montrer que si \alpha est une racine de \text{P}, alors
\mathrm{P}(x)=(x-\alpha)\left[\textcolor{orange}{a_{3}} x^{2}+\left(\textcolor{orange}{a_{2}+\alpha a_{3}}\right) x+\textcolor{orange}{a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right)}\right].
Les coefficients de Hörner sont donc a_{3} \: ; a_{2}+\alpha a_{3} \: ; a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right).
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Objectif
Découvrir la méthode de Hörner pour factoriser un polynôme dont on connaît une racine en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1Python
1. Programmer dans la console ci-dessous, à l'aide de Python, l'algorithme de Hörner pour calculer \mathrm{P}(\alpha) où \text{P} est un polynôme de degré 3 donné et \alpha un réel donné.
2. Utiliser l'algorithme de Hörner pour calculer l'image
de 1, -3 et \sqrt{2} par les polynômes suivants :
• \text{P}_{1}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1
• \text{P}_{2}(x)=-2 x^{3}+x^{2}-3 x-3
• \mathrm{P}_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-3 x+1
3. Comment modifier cet algorithme pour obtenir les coefficients de Hörner lorsque \alpha est une racine de \text{P} ?
4. Utiliser l'algorithme modifié pour obtenir à la main une factorisation de \mathrm{P}_{3}.
5. Déterminer toutes les racines de \mathrm{P}_{3}.
• \text{P}_{1}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1
• \text{P}_{2}(x)=-2 x^{3}+x^{2}-3 x-3
• \mathrm{P}_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-3 x+1
3. Comment modifier cet algorithme pour obtenir les coefficients de Hörner lorsque \alpha est une racine de \text{P} ?
4. Utiliser l'algorithme modifié pour obtenir à la main une factorisation de \mathrm{P}_{3}.
5. Déterminer toutes les racines de \mathrm{P}_{3}.
Aide
La fonction créée prend comme arguments les
coefficients de \text{P} et \alpha.
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Méthode 2Tableur
On considère un polynôme \text{P} défini par \mathrm{P}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1. Il s'agit d'utiliser un tableur pour calculer les coefficients de Hörner et pour calculer \mathrm{P}(\alpha) pour un \alpha donné.
Une ligne du tableur contiendra les coefficients de \text{P}. Une cellule à part contiendra la valeur de \alpha. Sur une ligne devront apparaître les calculs intermédiaires en commençant par la valeur 0 pour initialiser le processus.
Une autre ligne contiendra les coefficients de Hörner (on pourra commencer également par la valeur 0) et la dernière cellule de cette ligne contiendra \mathrm{P}(\alpha).
Une autre ligne contiendra les coefficients de Hörner (on pourra commencer également par la valeur 0) et la dernière cellule de cette ligne contiendra \mathrm{P}(\alpha).
1. Déterminer les formules à entrer dans les lignes 3 et 4 pour obtenir les résultats voulus en étirant les formules vers la droite, puis entrez-les dans le tableur. Où lit-on \mathrm{P}(\alpha) \: ?
2. Utiliser la feuille de calcul pour calculer l'image de 1, -3 et \sqrt{2} par les polynômes suivants :
• \text{P}_{1}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1
• \text{P}_{2}(x)=-2 x^{3}+x^{2}-3 x-3
• \mathrm{P}_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-3 x+1
3. Donner une racine du polynôme \text{P}_3.
4. Utiliser les coefficients de Hörner donnés par la feuille de calcul pour obtenir une factorisation de \text{P}_3 puis déterminer toutes les racines de \text{P}_3.
2. Utiliser la feuille de calcul pour calculer l'image de 1, -3 et \sqrt{2} par les polynômes suivants :
• \text{P}_{1}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1
• \text{P}_{2}(x)=-2 x^{3}+x^{2}-3 x-3
• \mathrm{P}_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-3 x+1
3. Donner une racine du polynôme \text{P}_3.
4. Utiliser les coefficients de Hörner donnés par la feuille de calcul pour obtenir une factorisation de \text{P}_3 puis déterminer toutes les racines de \text{P}_3.
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