1. a. Calculer u_{1}, u_{2}, u_{3} et u_{4}. On pourra en donner une valeur approchée à 10^-2 près.

Aide

Dans cette question, il faut réaliser un calcul. La suite \left(u_{n}\right) est définie par récurrence. Pour calculer, u_1 , il faut donc utiliser u_0 et la relation de récurrence : {u_{1}=\dfrac{u_{0}+2}{2 u_{0}+1}.}
On raisonne de la même façon pour u_{2}, u_{3} et u_4.

b. Vérifier que si n est l'un des entiers 0\: ; 1\: ; 2\: ; 3 ou 4, alors u_{n}-1 a le même signe que (-1)^{n}.
On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n}-1 a le même signe que (-1)^{n}.

Aide

Dans cette question, il faut réaliser une vérification.
À ne pas confondre avec une démonstration. On commence par n = 0 . On calcule donc u_{0}-1 puis (-1)^{0}.
On compare les signes des deux nombres. On raisonne de la même façon pour les autres valeurs de n demandées.

c. Établir que pour tout entier naturel n , {u_{n+1}-1=\dfrac{-u_{n}+1}{2 u_{n}+1}.}

Aide

Le verbe « Établir » sous-entend de réaliser une démonstration. Dans ce cas, il s'agit de démontrer une égalité : il faut donc effectuer un calcul. On utilise la relation de récurrence pour remplacer u_{n+1} puis, après une réduction au même dénominateur et une simplification du membre de gauche, on doit arriver à l'expression du membre de droite.

2. a. Pour tout entier naturel n , on pose v_{n}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+1}. Établir que, pour tout entier naturel n , {v_{n+1}=\dfrac{-u_{n}+1}{3 u_{n}+3}.}

Aide

Une fois encore le verbe « Établir » sous-entend de réaliser une démonstration. On utilise l'expression de v_{n} en fonction de u_{n} pour déterminer l'expression de v_{n+1} en fonction de u_{n+1}. Puis, on remplace u_{n+1} par sa relation de récurrence pour obtenir une expression en fonction de u_{n}. En simplifiant, on doit retrouver l'expression du membre de droite. Il est préférable de faire séparément les calculs du numérateur et du dénominateur.

b. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison \left(-\dfrac{1}{3}\right). En déduire l'expression de v_{n} en fonction de n .

Aide

Il est clairement indiqué ici que l'on attend une démonstration. À ne pas confondre avec une vérification. On doit utiliser la définition du cours d'une suite géométrique : il faut trouver un réel q tel que, pour tout n \in \N, v_{n+1}=q \times v_{n}. La deuxième partie de la question utilise également une définition du cours.

c. Démontrer que, pour tout entier naturel n,{u_{n}=\dfrac{1+v_{n}}{1-v_{n}},} puis exprimer u_n en fonction de n .

Aide

Une nouvelle démonstration par le calcul est nécessaire. Il faut utiliser l'expression de v_n en fonction de u_n donné au début de la question. Il faut organiser le calcul en plusieurs étapes et l'idée principale est de réussir à isoler u_{n}. Pour cela, le terme u_{n} ne doit apparaître qu'une seule fois. On pourra commencer par multiplier les deux membres de l'égalité par u_{n}+1.

1. Justifier que u_{1}=2\:926.

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0\text{,}95 u_{n}+76.

3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les huit premiers termes de la suite \left(u_{n}\right). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.

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Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite \left(u_{n}\right) ?

4. On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n} \geqslant 1\:520. Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) est décroissante.

5. On désigne par \left(v_{n}\right) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=u_{n}-1\:520.
a. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 0\text{,}95 dont on précisera le premier terme.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n , u_{n}=1\:480 \times 0\text{,}95^{n}+1\:520.

c. Conjecturer la valeur de \left(u_{n}\right) lorsque n devient très grand.

6. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\:000.

\boxed{ \begin{array} { l } \text { n } \leftarrow \text { 0 } \\ \text { u } \leftarrow \text { 3 000 } \\ \text{ Tant que ... } \\ \quad \text { n } \leftarrow \text { ... } \\ \quad \text { u } \leftarrow \text { ... } \\ \text { Fin Tant que } \\ \end{array} }

7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.

Partie A :

Pour un nombre entier naturel n , on note \mathrm{T}_{n} la température en degré Celsius du four au bout de n heures écoulées à partir de l'instant où il a été éteint.
On a donc \mathrm{T}_{0}=1\:000.
La température \mathrm{T}_{n} est calculée par l'algorithme suivant :

\boxed{ \begin{array} { l } \text { T } \leftarrow \text { 1 000 } \\ \text{ Pour i allant de 1 à n :} \\ \quad \text { T } \leftarrow 0\text{,}82 \times \text{T}+3\text{,}6 \\ \text { Fin Pour } \\ \end{array} }

1. Déterminer la température du four, arrondie à l'unité, au bout de 4 heures de refroidissement.

2. D'après l'algorithme précédent, exprimer \mathrm{T}_{n+1} en fonction de \mathrm{T}_{n}. Dans la suite, on admet que, pour tout nombre entier naturel n , on a :
\mathrm{T}_{n}=980 \times 0\text{,}82^{n}+20.

3. À l'aide d'une

calculatrice

, déterminer au bout de combien d'heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques.

Partie B :

Dans cette partie, on note t le temps (en heure) écoulé depuis l'instant où le four a été éteint. La température du four (en degré Celsius) à l'instant t est donnée par la fonction f définie, pour tout nombre réel t positif, par f(t)=a e^{-t/5}+b, où a et b sont deux nombres réels. On admet que f vérifie la relation suivante : f^{\prime}(t)+\dfrac{1}{5} f(t)=4

1. Déterminer les valeurs de a et b sachant qu'initialement, la température du four est de 1 000 °C, c'est-à-dire que f(0)=1\:000.

2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel positif t, f(t)=980 e^{-t/5}+20.
a. Étudier les variations de f sur [0\: ;+\infty[.

b. Avec ce modèle et à l'aide d'une calculatrice, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

3. Dans cette question, on s'intéresse à l'abaissement de température (en degré Celsius) du four au cours d'une heure, soit entre deux instants t et (t+1). Cet abaissement est donné par la fonction d définie, pour tout nombre réel t positif, par : d(t)=f(t)-f(t+1)
a. Vérifier que, pour tout nombre réel t positif :
d(t)=980\left(1-e^{-1/5}\right) e^{-t/5}.

b. À l'aide d'une calculatrice, que peut-on dire des valeurs de d(t) lorsque t devient de plus en plus grand.
Quelle interprétation peut-on en donner ?

Soit u la suite définie par u_{0}=2 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=2 u_{n}+2 n^{2}-n.
On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=u_{n}+2 n^{2}+3 n+5. 1. Voici, ci-dessous, un extrait de feuille de calcul. Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules B3 et C2 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v \: ?

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2. À l'aide du tableur, conjecturer l'expression de v_n en fonction de n.

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3. En utilisant cette conjecture, déterminer une expression de u_n en fonction de n .

Partie A :

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite \left(u_{n}\right) à l'aide d'un tableur.
On a reproduit ci-dessous une partie d'une feuille de calcul où figurent les valeurs de u_0 et de u_1 .


1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4 puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir des valeurs de la suite \left(u_{n}\right) dans la colonne B.

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à 10^-3 près de u_{n} pour n allant de 2 à 5.


3. Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite \left(u_{n}\right) ?

Partie B : Étude de la suite
On considère les suites \left(v_{n}\right) et \left(w_{n}\right) définies pour tout entier naturel n par : v_{n}=u_{n+1}-\frac{1}{4} u_{n} et w_{n}=u_{n}-7.

1. a. Démontrer que \left(v_{n}\right) est une suite constante.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n , u_{n+1}=\dfrac{1}{4} u_{n}+\dfrac{21}{4}.

2. a. Démontrer que \left(w_{n}\right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n , u_{n}=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}.

c. Quel lien peut-on faire avec la question 3. de la partie A ?

1. a. Complétez l'arbre de probabilité relatif aux trois premières semaines ci-dessous (vous pouvez utiliser l'outil de dessin en mode zoom).


b. Démontrer que \text{P}\left(A_{3}\right)=0{,}85.

c. Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ? Arrondir au centième.

Dans la suite, on pose pour tout entier n \geqslant 1 : p_{n}=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n}\right). On a ainsi p_{1}=1

2. Démontrer que, pour tout entier n \geqslant 1 : p_{n+1}=0\text{,}5 p_{n}+0\text{,}4.

3. a. On admet que, pour tout entier n \geqslant 1, \: p_{n}>0\text{,}8.
Démontrer que la suite \left(p_{n}\right) est décroissante.

b. À l'aide de la

calculatrice

, conjecturer la limite de la suite \left(p_{n}\right).

4. On pose, pour tout entier \: n \geqslant 1 : v_{n}=p_{n}-0\text{,}8.
a. Démontrer que \left(v_{n}\right) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme v_1 et la raison.

b. Exprimer v_n en fonction de n .

c. En déduire que, pour tout entier n \geqslant 1\:: p_{n}=0\text{,}8+0\text{,}2 \times 0\text{,}5^{n-1}.

d. À l'aide de la

calculatrice

, conjecturer le comportement de \left(p_{n}\right) lorsque n devient très grand.
Interpréter le résultat.

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=1 et pour tout n \in \mathbb{N},\text{ } u_{n+1}=\dfrac{1}{3} u_{n}+n-2. 1. Calculer u_{1}, u_{2} et u_{3}.

2. À l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite \left(u_{n}\right) lorsque n devient très grand.

3. On définit la suite \left(v_{n}\right) par : pour tout n \in \mathbb{N},
v_{n}=-2 u_{n}+3 n-\dfrac{21}{2}.
a. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b. En déduire que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n}=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}+\dfrac{3}{2} n-\dfrac{21}{4}.

c. Soit \text{S}_{n} la somme définie pour tout entier naturel n par : \mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}.
Déterminer l'expression de \text{S}_n en fonction de n .

1. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [0\:;+\infty[.

2. Résoudre l'équation f(x)=x sur l'intervalle [0\:;+\infty[.
On note \alpha la solution.
On donnera la valeur exacte de \alpha puis une valeur approchée à 10^{-2} près.

3. On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=1 et, pour tout entier naturel n , u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
a. Tracer, dans un repère orthonormé d'unité 2 cm, la courbe \mathcal{C} représentative de f ainsi que la droite \mathcal{D} d'équation y=x.

b. En utilisant la courbe \mathcal{C} et la droite \mathcal{D}, placer les points \mathrm{M}_{0}, \mathrm{M}_{1} et \mathrm{M}_{2} d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives u_{0}, u_{1} et u_{2}.
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite \left(u_{n}\right)\:?

4. Pour tout entier naturel n , on définit la suite \left(\mathrm{S}_{n}\right) par \mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}.
a. Calculer \mathrm{S}_{0}, \mathrm{S}_{1} et \mathrm{S}_{1}. Donnerune valeur approchée des résultats à 10^{-2} près.

b. Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la somme \mathrm{S}_{n} pour une valeur de n donnée.

\boxed{ \begin{array} { l } \text { u } \leftarrow \text { 1 } \\ \text { s } \leftarrow \text { u } \\ \text { i } \leftarrow \text { 0 } \\ \text{ Tant que ... } \\ \quad \text { i } \leftarrow \text { i+1 } \\ \quad \text { u } \leftarrow \text { ... } \\ \quad \text { s } \leftarrow \text { ... } \\ \text { Fin Tant que} \end{array} }

Partie A :

1. On souhaite écrire un algorithme calculant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n. Parmi les deux algorithmes suivants, un seul convient.
Préciser lequel en justifiant la réponse.

\boxed{ \begin{array} { l } { } \quad\quad \text { Algorithme 1 }\\\\ \text { v } \leftarrow \text { 1 } \\ \text { Pour i variant de 1 à n }: \\ \quad \text {v} \leftarrow \dfrac{9}{6-\text{v}} \\ \text {Fin Pour} \end{array} } \boxed{ \begin{array} { l } { } \quad\quad \text { Algorithme 2 }\\\\ \text { Pour i variant de 1 à n }: \\ \quad \text { v } \leftarrow \text { 1 } \\ \quad \text { v } \leftarrow \dfrac{9}{6-\text{v}} \\ \text {Fin Pour} \end{array} }

2. Pour n = 10 on obtient les valeurs suivantes :

1

1,8

2,143

2,333

2,455

2,538

2,6

2,647

2,684

2,714

Pour n = 100 , les derniers termes calculés sont :

2,967

2,968

2,968

2,969

2,969

2,969

2,970

2,970

2,970

2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \left(v_{n}\right)\:?

3. On admet que, pour tout entier naturel n, 0\lt v_{n}\lt3.
Démontrer que, pour tout entier naturel n , v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{\left(3-v_{n}\right)^{2}}{6-v_{n}}. La suite \left(v_{n}\right) est-elle monotone ?

Partie B : Recherche de l'expression de la suite

On considère la suite \left(w_{n}\right) définie pour tout n entier naturel par w_{n}=\dfrac{1}{v_{n}-3}.
1. Démontrer que \left(w_{n}\right) est une suite arithmétique de raison \left(-\dfrac{1}{3}\right).

2. En déduire l'expression de \left(w_{n}\right), puis celle de \left(v_{n}\right) en fonction de n .

Partie B : Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire \left(v_{n}\right) par : pour tout entier n \geqslant 1, v_{n}=n u_{n}-1.
1. Montrer que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique ; préciser la raison et son premier terme.

2. En déduire que, pour tout entier naturel n \geqslant 1, on a :
u_{n}=\dfrac{1+(0\text{,}5)^{n}}{n}.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n \geqslant 1, on a :
u_{n+1}-u_{n}=-\dfrac{1+(1+0\text{,}5 n)(0\text{,}5)^{n}}{n(n+1)}.
En déduire le sens de variation de la suite (u_n).

Partie C : Retour à l'algorithmique

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier n tel que u_{n}\lt0\text{,}001.