On considère un trinôme du second degré : a x^{2}+b x+c.
On rappelle que a \neq 0.
Pour tout réel x, a x^{2}+b x+c=a\left(x^{2}+\dfrac{b}{a} x+\dfrac{c}{a}\right).

Or x^{2}+\dfrac{b}{a} x=x^{2}+2 \times \dfrac{b}{2 a} x+\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.

Donc x^{2}+\dfrac{b}{a} x=\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.

Ainsi, on a : a x^{2}+b x+c

\begin{array} { l } {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}+\dfrac{c}{a}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}+\dfrac{4 a c}{4 a^{2}}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]} \end{array}

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Remarque

La deuxième étape consiste à ajouter puis à retirer \left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} afin de faire apparaître une identité remarquable.

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Définition

L'expression a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right] est appelée forme canonique du trinôme a x^{2}+b x+c.

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Exemples

La forme canonique de f(x)=x^{2}+8 x+7 est f(x)=(x+4)^{2}-9.
Celle de g(x)=3 x^{2}-9 x+8 est g(x)=3\left[\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{12}\right].

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Remarque

En développant la forme canonique, on obtient a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a}.
Cette expression correspond à celle donnée dans le chapitre 2 « Fonctions de référence » avec \alpha=-\dfrac{b}{2 a} et \beta=-\dfrac{\Delta}{4 a}.

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Application et méthode

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Énoncé

Mettre la fonction trinôme f définie sur \R par f(x) = 2x^2 + 8x - 1 sous forme canonique.

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Méthode

1. On commence par mettre le coefficient a en facteur : ici, a =2.

2. x^{2}+4 x est le début du développement de (x+2)^{2}. On remplace donc x^{2}+4 x par (x+2)^{2}-4.

3. On termine la mise sous forme canonique en calculant -4-\dfrac{1}{2}.

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Solution

f(x)=2 x^{2}+8 x-1=2\left(x^{2}+4 x-\dfrac{1}{2}\right)

=2\left[(x+2)^{2}-4-\dfrac{1}{2}\right]=2\left[(x+2)^{2}-\dfrac{9}{2}\right]

Pour s'entraîner

Exercices 18
p. 87 et 37
à 39
p. 88

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B
Résolution d'une équation du second degré

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Définition

On appelle équation du second degré à une inconnue toute équation qui peut s'écrire sous la forme : a x^{2}+b x+c=0 avec a \neq 0.

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Théorème

Si \Delta\lt0 alors l'équation a x^{2}+b x+c=0 n'a pas de solution réelle.
Si \Delta=0 alors l'équation a une solution réelle : x_{0}=-\dfrac{b}{2 a}.
Si \Delta>0 alors l'équation a deux solutions réelles distinctes :

x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.

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Démonstration

Résoudre a x^{2}+b x+c=0 équivaut à résoudre :

a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]=0

\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0, car a\neq 0

\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}

Le nombre de solutions dépend du signe de \Delta.

Si \Delta \lt 0 : \dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\lt0 et \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0, car un carré est toujours positif ou nul sur \R.

Par conséquent, l'équation \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\dfrac{\Delta}{4 a^{2}} n'a pas de solution réelle et l'équation a x^{2}+b x+c=0 n'a pas de solution réelle.
Si \Delta = 0 : l'équation devient \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=0 et admet la solution -\dfrac{b}{2 a}.
Si \Delta > 0 : l'équation \left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0 est la différence de deux nombres positifs donc l'équation est de la forme \mathrm{A}^{2}-\mathrm{B}^{2}=0. De ce fait :

\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0

\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)=0

\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}=0 ou x+\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}=0

\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a} ou x=-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}

L'équation a deux solutions réelles distinctes :

x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} \text { et } x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.

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Remarque

Dans le cas où \Delta=0,
\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right).
La racine -\dfrac{b}{2 a} est appelée racine double du trinôme.

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Démonstration au programme

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Définition

Les racines réelles d'un trinôme a x^{2}+b x+c sont, lorsqu'elles existent, les solutions de l'équation a x^{2}+b x+c=0.

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Exemples

L'équation 2 x^{2}+x-3=0 admet deux solutions réelles distinctes : x_{1}=-\dfrac{3}{2} et x_{2}=1(\Delta=25 et 25>0).

L'équation x^{2}+x+1=0 n'admet aucune solution réelle, car \Delta=-3 et -3\lt0.

L'équation 9 x^{2}-30 x+25=0 admet une solution : x_{0}=\dfrac{5}{3}(\Delta=0).

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Application et méthode

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Énoncé

Résoudre les équations du second degré suivantes.

1. 3 x^{2}-4 x-2=0

2. -3 x^{2}+x-2=0

3. 25 x^{2}+70 x+49=0

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Méthode

On commence par identifier les coefficients a, b et c de l'équation.

On vérifie si l'équation est facile à résoudre : c'est le cas lorsque b = 0 ou c = 0, ou encore lorsqu'on reconnaît une identité remarquable.

Si l'équation n'est pas évidente, on calcule le discriminant \Delta=b^{2}-4 a c .

En fonction du signe de \Delta, on détermine le nombre de solutions de l'équation.

On donne les solutions éventuelles en utilisant les formules données dans le théorème.

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Solution

1. On a \Delta=(-4)^{2}-4 \times 3 \times(-2)=40.
\Delta>0 donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

x_{1}=\dfrac{-(-4)-\sqrt{40}}{2 \times 3} et x_{2}=\dfrac{-(-4)+\sqrt{40}}{2 \times 3}.
Or, \sqrt{40}=2 \sqrt{10} donc x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3} et x_{2}=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}.

2. On a \Delta=1^{2}-4 \times(-3) \times(-2)=-23.
\Delta\lt0 donc l'équation n'admet pas de solution dans \R.

3. \Delta=70^{2}-4 \times 25 \times 49=0.
L'équation admet une solution réelle :
x_{0}=\dfrac{-70}{2 \times 25}=\dfrac{-7}{5}.

On peut aussi reconnaître une identité remarquable : l'équation équivaut à (5 x+7)^{2} =0 et on obtient donc également x_{0}=\dfrac{-7}{5}.

Pour s'entraîner

Exercices 22
à 26
p. 87

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C
Interprétation graphique

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On peut résumer le théorème précédent avec le tableau suivant :

	Cas a > 0 (parabole tournée vers le haut)	Cas a \lt 0 (parabole tournée vers le bas)
\Delta \lt 0 : pas de racine
\Delta = 0 : une racine
\Delta > 0 : deux racines