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Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 3
Entraînement 2
Factorisation et signe du trinôme
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61
[Calculer.] On pose \mathrm{A}(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-3 x-4}. 1. Déterminer les racines de x^{2}-3 x-4.
2. Factoriser x^{2}-3 x-4.
3. Après avoir précisé l'ensemble des réels x pour lesquels \text{A}(x) existe, simplifier l'écriture de \text{A}(x).
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[Calculer.]
On considère la fraction rationnelle suivante :
f(x)=\dfrac{2-x}{-3 x^{2}+11 x-10} 1. Donner l'ensemble de définition de f.
2. Factoriser le dénominateur puis simplifier l'écriture de f(x).
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[Calculer.]
Reprendre l'exercice précédent avec les fractions rationnelles suivantes. 1. g(x)=\dfrac{9 x^{2}-16}{9 x^{2}-9 x-4}
2. h(x)=\dfrac{x^{2}-7 x-18}{5 x^{2}+3 x-14}
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[Représenter.]
On a obtenu la courbe de la fonction f sur l'écran de la calculatrice.
1. Par lecture graphique, donner les solutions entières de l'équation f(x) =0.
2. En utilisant l'autre information disponible sur l'écran, déterminer f(x) en fonction de x.
2. En utilisant l'autre information disponible sur l'écran, déterminer f(x) en fonction de x.
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[Calculer.] On cherche à résoudre l'équation (\text{E}) suivante.
x^{3}+5 x^{2}-x-5=0. Pour tout x \in \mathbb{R}, on pose \mathrm{A}(x)=x^{3}+5 x^{2}-x-5. 1. Montrer que, pour tout x \in \R,
\mathrm{A}(x)=(x+1)^{3}+2\left(x^{2}-2 x-3\right).
2. Pour tout x \in \R, on pose \mathrm{B}(x)=x^{2}-2 x-3.
Factoriser \mathrm{B}(x).
3. En utilisant les questions 1. et 2., résoudre l'équation (\text{E}).
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Résoudre les inéquations suivantes dans \R.
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[Calculer.] 1. x^{2}-3 x+1\lt0
2. 2 x^{2}+5 x-7 \geqslant 0
3. 9 x^{2}+12 x+4>0
4. 3 x^{2}-x+1 \leqslant 0
5. -x^{2}+5 x-7\lt0
6. -4 x^{2}+20 x-25 \geqslant 0
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67
[Calculer.]
1. 2 x^{2}-4 \geqslant 0
2. x^{2}+1\lt0
3. -5 x^{2}>(-3 x+1)(x+2)
4. -x^{2}-5 x \leqslant 0
5. (x-1)\left(x^{2}+3\right)>(x+1)(5 x-3)
6. 4(x-3)^{2} \geqslant(7+4 x)^{2}
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68
[Calculer.]
1. -x^{2}-4>0
2. 16+(x-1)^{2}\lt0
3. (2 x-5)^{2} \geqslant 9
4. -4 x^{2}+48 \leqslant 0
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70
[Calculer.]
1. \left(-3 x^{2}-2 x+8\right)\left(5 x^{2}+2 x-3\right) \geqslant 0
2. \left(x^{2}+3 x-4\right)\left(3 x^{2}-5 x+2\right) \geqslant 0
3. \left(-x^{2}+2 x-1\right)\left(2 x^{2}-x-6\right)\lt0
4. \left(-x^{2}+x-7\right)\left(3 x^{2}-x+2\right) \geqslant 0
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69
[Calculer.]
1. \left(-3 x^{2}+x+2\right)(x+3) \geqslant 0
2. \left(5 x^{2}-x+3\right)(3-2 x)\lt0
3. (3 x-1)\left(2 x^{2}+3 x-5\right)>0
4. (x-2)\left(-x^{2}+x-2\right) \leqslant 0
5. \left(5 x^{2}+3 x-2\right)(x+1)>0
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71
[Calculer.] Déterminer les valeurs de x pour lesquelles les encadrements suivants sont vérifiés. 1. -3 \leqslant x^{2}-2 x-15 \leqslant 1
2. 2\lt\dfrac{3 x^{2}+1}{-x+7}\lt7
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72
[Calculer.] Résoudre les inéquations suivantes après avoir donné l'ensemble de résolution.
1. x^{3}-4 x^{2}+x \geqslant 0
2. \dfrac{3 x^{2}+x-2}{x-2}\lt0
3. \dfrac{-2 x^{2}-5 x+3}{x^{2}-4 x-5}\lt0
2. \dfrac{3 x^{2}+x-2}{x-2}\lt0
3. \dfrac{-2 x^{2}-5 x+3}{x^{2}-4 x-5}\lt0
4. \dfrac{x^{2}+x+1}{2 x^{2}-5 x+7}\lt0
5. \dfrac{-x+4}{3 x-5} \geqslant \dfrac{2 x-1}{4 x+5}
6. 1+\dfrac{2}{3 x+1}\lt\dfrac{1}{x-5}
5. \dfrac{-x+4}{3 x-5} \geqslant \dfrac{2 x-1}{4 x+5}
6. 1+\dfrac{2}{3 x+1}\lt\dfrac{1}{x-5}
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73
[Calculer.]
Donner le domaine de définition des fonctions suivantes.
1. f : x \mapsto \sqrt{x^{2}+4 x-5}
2. g : x \mapsto \dfrac{3}{x \sqrt{7 x^{2}-2 x-5}}
2. g : x \mapsto \dfrac{3}{x \sqrt{7 x^{2}-2 x-5}}
3. h : x \mapsto \sqrt{\dfrac{x}{3 x^{2}-13 x+4}}
4. l : x \mapsto \sqrt{x^{2}-3 x-10}+\sqrt{x}
4. l : x \mapsto \sqrt{x^{2}-3 x-10}+\sqrt{x}
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74
En SVT
[Modéliser.]
D'après Bac ES - Polynésie - 2014
On étudie la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. On modélise cette concentration par la fonction g définie sur l'intervalle [0 \: ; 10] par g(t)=\dfrac{4 t}{t^{2}+1}.
g(t) représente la concentration en mg·L-1 de l'antibiotique lorsque t heures se sont écoulées. Répondre aux questions suivantes de façon algébrique puis vérifier à l'aide d'un graphique à la calculatrice. 1. Dans quel intervalle de temps la concentration sera-t-elle supérieure ou égale à 1,6 mg·L-1 ?
2. La concentration peut-elle être strictement supérieure à 2 mg·L-1 ?
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75
[Chercher.]
Un miroir peut être représenté par la figure ci-dessous. Le rectangle \text{ABCD} symbolise le cadre du miroir. \text{AEFD} est un trapèze et constitue le miroir proprement dit. Les deux triangles \text{ABE} et \text{DFC} sont des pièces de bois ouvragées.
L'unité est le centimètre. On pose \mathrm{EF}=x et on a \mathrm{BE}=\mathrm{FC}, \mathrm{AB}=x+20 et \mathrm{AD}=30.
L'unité est le centimètre. On pose \mathrm{EF}=x et on a \mathrm{BE}=\mathrm{FC}, \mathrm{AB}=x+20 et \mathrm{AD}=30.
Quelle est la valeur minimale à donner à x pour que le miroir \text{AEFD} ait une aire supérieure aux neuf dixièmes de l'aire totale de \text{ABCD} \: ?
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76
[Chercher.]
Soit \mathcal{P} la courbe d'équation y=x^{2} et \mathcal{D} la droite d'équation y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}. Étudier la position relative de ces deux courbes.
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En physique
[Modéliser.]
Lors d'un freinage d'urgence, la distance que parcourt le véhicule avant l'arrêt total se décompose en deux parties : la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur et la distance de freinage parcourue au cours du freinage du véhicule. 1. Le temps de réaction du conducteur, c'est-à-dire le temps nécessaire pour prendre conscience de la situation et appuyer sur le frein, est d'environ une seconde.
Si on appelle v la vitesse du véhicule en km·h–1, montrer que la distance d_r, en mètre, parcourue pendant ce temps de réaction vérifie : {d_{r}=\dfrac{v}{3{,}6}.}
2. Pour la distance de freinage d_f, exprimée en mètre, on donne la formule suivante {d_{f}=\dfrac{v^{2}}{200}.}
La distance d'arrêt est donc égale à {d_{a}=d_{r}+d_{f}.}
Une voiture roule à 110 km·h–1. Quelle est sa distance d'arrêt (on arrondira au centième près) ?
3. Quelles sont les vitesses qui permettent de s'arrêter en moins de 15 m ?
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Démo
[Raisonner.]
Soient a , b , c et d quatre réels tels que a \neq 0. On note \text{P} le polynôme de degré 3 défini par \mathrm{P}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d. 1. Démontrer que, pour tous réels x et \alpha,
x^{3}-\alpha^{3}=(x-\alpha)\left(x^{2}+x \alpha+\alpha^{2}\right).
2. On suppose maintenant que \alpha est une racine de \text{P}.
a. Justifier que l'on peut écrire, pour tout {x \in \R}, \mathrm{P}(x)=\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(\alpha).
b. En déduire alors que, pour tout réel x,
\mathrm{P}(x)=a\left(x^{3}-\alpha^{3}\right)+b\left(x^{2}-\alpha^{2}\right)+c(x-\alpha).
3. Justifier alors que \text{P}(x) est factorisable par (x - \alpha) et donner cette factorisation.
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79
[Calculer.]
Pour chacun des polynômes suivants :
- vérifier que 1 est une racine ;
- factoriser le polynôme par x - 1 en utilisant l'exercice précédent ;
- déterminer toutes les racines du polynôme.
2. \mathrm{P}_{2}(x)=x^{3}-9 x^{2}+24 x-16
3. \mathrm{P}_{3}(x)=4 x^{3}+8 x^{2}-2 x-10
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Oups, une coquille
