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Capacités attendues
1. Transformer une expression en utilisant les propriétés
algébriques de la fonction exponentielle.
2. Étudier le comportement de fonctions faisant intervenir la
fonction exponentielle.
3. Résoudre des équations et inéquations faisant intervenir la
fonction exponentielle.
4. Modéliser une situation à l'aide de la fonction exponentielle.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Effectuer des calculs numériques simples impliquant des
puissances.
2. Établir le tableau de signes d'une expression littérale.
3. Calculer une fonction dérivée en utilisant les opérations
usuelles.
4. Utiliser la dérivation pour étudier les variations d'une
fonction.
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Anecdote
Si vous possédez 1 centime d'euro et que
vous doublez votre capital chaque jour, il
vous faudra 27 jours pour devenir millionnaire
et 37 jours pour devenir milliardaire.
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1
Utiliser les puissances
Écrire les expressions suivantes à l'aide d'une
seule puissance.
1. 2^{4} \times 2^{7} \times 2^{3}
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2
Utiliser les tangentes à une courbe
On considère une fonction f , définie et dérivable
sur \mathbb{R} dont une portion de la courbe représentative
est donnée ici. La tangente à la courbe en
x = 1 est horizontale. On a, de plus, tracé en vert
la tangente à la courbe en x = 0 .
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1. Lire graphiquement f'(0).
2. Déterminer la valeur de f'(1) grâce aux
données de l'énoncé.
3. Déterminer le signe de f'(-3), f'(-1) et f'(2).
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3
Déterminer les variations d'une fonction
On considère une fonction g définie et
dérivable sur \mathbb{R} dont la dérivée g' est définie
par g^{\prime}(x)=(-2 x+6)(3 x+12).
Construire le tableau de variations de la
fonction g sur \mathbb{R}.
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4
Dériver un produit
Soit h la fonction définie par h(x)=x \sqrt{x}.
1. Donner le domaine de définition de h .
2. Sur quel ensemble h est-elle dérivable ?
3. Calculer la fonction dérivée h' de h et déterminer son tableau de signes sur son ensemble de définition.
4. En déduire le tableau de variations de la fonction h .
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5
Démontrer avec les dérivées
On considère deux fonctions f et g définies sur
le m ême intervalle \mathrm{I} tel que, pour tout x \in \mathrm{I}, f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) On note h, la fonction définie sur
\mathrm{I} par h(x) = f(x) - g(x).1. Justifier que h est dérivable et déterminer sa fonction dérivée h' .
2. Que peut-on en déduire sur h ?
3. a. Quelle relation algébrique existe-t-il alors entre les fonctions f et g ?
b. En donner une interprétation graphique.
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6
Problème
Une entreprise produit des pièces destinées à
l'industrie automobile. On appelle x le nombre
de pièces produites en un jour. Pour des raisons
matérielles, x \in[0 ; 30]. Le bénéfice journalier
de l'entreprise, en euro, peut être modélisé
par une fonction \mathrm{B} définie sur [0 ; 30] par
\mathrm{B}(x)=-2 x^{2}+60 x-400.1. Déterminer, pour tout x dans [60\,; 30], l'expression de \mathrm{B}'(x).
2. En déduire la production de l'entreprise
permettant de réaliser un bénéfice maximal.
Que vaut alors ce bénéfice ?
3. Montrer que \mathrm{B}(x) peut s'écrire sous forme
factorisée \mathrm{B}(x)=-2(x-10)(x-20).
4. En déduire les productions pour lesquelles
l'entreprise est bénéficiaire.
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