S'il existe une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} vérifiant, pour tout nombre réel x , f^{\prime}(x)=f(x) et, {f(0)=1,} alors cette fonction ne s'annule jamais.

Voir activité

A

p.158.

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} vérifiant, pour tout nombre réel x , f^{\prime}(x)=f(x) et f(0) = 1 .

L'existence de cette fonction est admise. La démonstration de l'unicité a été réalisée dans l'activité

B

p.158.

La fonction exponentielle est la fonction, notée \exp , définie et dérivable sur \mathbb{R} telle que \exp(0) = 1 et \exp' = \exp.

D'après le lemme, on peut dire que, pour tout réel x , \exp (x) \neq 0.

On pose f(x)= 3\,\exp(x). Cette fonction est bien définie et dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R},
f'(x)= 3\, \exp'(x) = 3\, \exp(x)=f(x).
De plus, f(0)=3\, \exp(0)=3 \times 1 = 3.

exercices

22 p. 171;

41

et

42 p.172

On utilise deux propriétés de la fonction exponentielle.

• La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée : \exp' = \exp .
• \exp(0) = 1 donc, pour avoir f(0) = 3 , il suffit de multiplier par 3 la fonction exponentielle.

Pour tous nombres réels x et y , \exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y) . Cette relation s'appelle relation fonctionnelle.
Autrement dit, l'exponentielle d'une somme de deux nombres est le produit de l'exponentielle de chacun de ces nombres.

« Pour tous nombres réels x et y » signifie que l'égalité est vraie quelles que soient les valeurs de x et y .

y est un nombre réel fixé et, pour tout x \in \mathbb{R}, on définit la fonction f par f(x)=\dfrac{\exp (x+y)}{\exp (x)}. f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=\dfrac{\exp (x+y) \exp (x)-\exp (x+y) \exp (x)}{[\exp (x)]^{2}}=0.
On en déduit que f est une fonction constante. Ainsi, pour tout réel x , f(x)=f(0)=\exp (y).
Par conséquent, \dfrac{\exp (x+y)}{\exp (x)}=\exp (y), d'où \exp (x+y)=\exp (x) \times \exp (y).

y est un réel fixé donc la démonstration est valable pour toute valeur de y \in \mathbb{R}. La propriété est donc vraie pour tous réels x et y .

Pour tous réels x et y on a \exp (x) \times \exp (y)=\exp (x+y). En remplaçant y par -x, on obtient \exp (x) \times \exp (-x)=\exp (x-x)=\exp (0)=1.
Donc, pour tout réel x , \exp(x) et \exp(-x) sont inverses l'un de l'autre d'où \exp (-x)=\dfrac{1}{\exp (x)}.

La dernière étape est vraie car \exp (x) \neq 0 pour tout x \in \mathbb{R}.

Pour tous nombres réels x, et y, \exp (x-y)=\dfrac{\exp (x)}{\exp (y)}.

Voir exercice

48

p.172.

Pour tout réel x et pour tout entier relatif n , [\exp (x)]^{n}=\exp (n\,x).

Pour n \in \mathbb{N}, on peut utiliser la propriété\begin{array}{l}{\exp (a) \times \exp (b)} {=\exp (a+b)}\end{array}

1. \exp (5) \times \exp (8) \times[\exp (2)]^{3}
=\exp (5) \times \exp (8) \times \exp (2 \times 3) \\ =\exp (5+8+6)=\exp (19)

2. \exp (5) \times \exp (5)^{-1} \times \exp (10)=
1 \times \exp (10)=\exp (10)

exercices

23

et

25 p. 171

1. On utilise le fait que [\exp (x)]^{n}=\exp (n\,x).

2. \exp(5) est l'inverse de \exp(5)^{-1}, le produit de ces deux nombres est donc égal à 1.

On note \exp (1)=\mathrm{e} où \mathrm{e} est un nombre réel non rationnel tel que \mathrm{e} \approx 2,718281828.

C'est le mathématicien suisse, Leonhard Euler (XVIII^e siècle) qui fut le premier à utiliser la notation \mathrm{e} .

Pour tout nombre entier relatif n , \exp (n)=\exp (n \times 1)=[\exp (1)]^{n}=\mathrm{e}^{n}.
Par extension, pour tout nombre réel x , \exp (x)=\mathrm{e}^{x}.

On écrira alors, pour tous nombres réels x et y et pour tout nombre entier relatif n :
\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y} ; \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x}=1 ; \mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}} ;  \mathrm{e}^{x-y}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}} et \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}=\mathrm{e}^{n x}.

\dfrac{\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{4} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\dfrac{\mathrm{e}^{7 \times 4} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\dfrac{\mathrm{e}^{28} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\mathrm{e}^{28+3-4}=\mathrm{e}^{27}

exercices

25

à

30 p. 171

1. On utilise le fait que, pour x \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{Z}, \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}=\mathrm{e}^{n x} pour transformer \left(\mathrm{e}^{7}\right)^{4} en \mathrm{e^{28}}.

2. On utilise ensuite les propriétés de produit et quotient de la fonction exponentielle : pour tous réels x et y , \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{x+y} et \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}=\mathrm{e}^{x-y}.