90
Démo
[Raisonner.]
Soit f , une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} . Si f' est dérivable, alors sa dérivée est la dérivée seconde de f . On la note f'' . Autrement dit, f^{\prime \prime}=\left(f^{\prime}\right)^{\prime} On dit, de plus, qu'une fonction dérivable deux fois est convexe sur \mathbb{R} si et seulement si pour tout réel x , f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0. 1. Vérifier que la fonction exponentielle est convexe.

2. Soient a et b deux réels fixés. On note f_{a, b} la fonction définie sur \mathbb{R} par f_{a, b}(x)=\mathrm{e}^{a x+b}.
a. Pour tout réel x , justifier l'existence de f_{a, b}'' et déterminer f_{a, b}^{\prime \prime}(x).

b. En déduire que f_{a,b} est convexe pour tous réels a et b .

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91
[Calculer.]

On considère la fonction h définie pour tout x \in \mathbb{R} par h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} 1. Montrer que la courbe représentative de h dans un repère admet l'origine comme centre de symétrie.

2. Montrer que h est dérivable sur \mathbb{R .}

3. Montrer que la fonction h vérifie h^{\prime}=1-h^{2}.

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92
[Raisonner.]
Soit y_{x} l'unique solution de l'équation d'inconnue y : \mathrm{e}^{y}=x où x appartient à \mathbb{R}. On définit la fonction f par f(x)=y_{x}. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

2. Que vaut f(1) ? Que vaut f(\mathrm{e}) ?

3. Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que f(ab) = f(a) + f(b) .

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93
[Représenter.]

D'après Bac ES - Asie - 2018.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative C_{f} d'une fonction f définie sur \mathrm{I} = [0 ; 25] par f(x)=(a x+b)\mathrm{ e}^{-0,2 x}où a et b sont deux nombres réels. On a représenté également sa tangente \mathrm{T} au point \mathrm{A}(0 ;7). \mathrm{T} passe par le point \mathrm{B}—(2 ; 14\text{,}2).

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1. Résoudre graphiquement l'équation f(x)=6.

2. a. Par lecture graphique, donner f(0) .

b. Écrire f(0) en fonction de a et b .

c. En déduire que sur \mathrm{I} {,} f(x)=(a x+7) \,\mathrm{e}^{-0,2 x}.

3. a. Quel est le coefficient directeur de la droite \mathrm{T} ?

b. Exprimer, pour tout x \in \mathrm{I} , f'(x) en fonction de a.

c. En déduire que, pour tout x \in \mathrm{I}, f(x)=(5 x+7)\,\mathrm{e}^{-0,2 x}.

4. On souhaite connaître le maximum de la fonction f sur \mathrm{I} .

a. Montrer que, pour tout x \in \mathrm{I}, f^{\prime}(x)=(-x+3\text{,}6) \mathrm{e}^{-0\text{,}2 x}.

b. Étudier le signe de f'(x) puis les variations de f sur \mathrm{I} .

c. En déduire le maximum de f sur \mathrm{I} .

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94
[Raisonner.]
D'après Bac S - Asie - 2015.
Pour tout entier naturel n , on définit la fonction f_{n} pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1] par
f_{n}(x)=x+\mathrm{e}^{n(x-1)}.

On note C_{n} la représentation graphique de la fonction f_{n} dans un repère orthogonal. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n , la fonction f_{n} est positive.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n , la fonction f_{n} est croissante sur [0 ; 1].

3. Montrer, par le calcul, que toutes les courbes C_{n} ont un point commun \text{A} dont on précisera les coordonnées.

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95
[Raisonner.]
On a représenté ci-dessous les courbes représentant les fonctions f et f' définies sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{-0\text{,}5 x} et f^{\prime}(x)=-0\text{,}5 \, \mathrm{e}^{-0\text{,}5 x}

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1. Associer à chaque fonction la courbe représentative correspondante.
f(x)=\mathrm{e}^{-0\text{,}5 x}

f^{\prime}(x)=-0,5 \,\mathrm{e}^{-0,5 x}.

2. Montrer que, pour tout réel x , on a : f^{\prime}(x)+0\text{,}5\,f(x)=0.

3. On considère une fonction g définie et dérivable sur \mathbb{R} telle que, pour tout réel x , g^{\prime}(x)=-0\text{,}5\,g(x).
Montrer que la fonction h définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)} est constante.

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96
[Modéliser.]

D'après Bac S - Pondichery - 2018.
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1\,000 °C. À la fin de la cuisson, il est éteint. On s'intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l'instant où il est éteint. La courbe représente la température du four en fonction du temps. La température du four, à l'instant t , est donnée par la fonction f définie pour tout nombre réel t \geqslant 0 par f(t)=980 \, \mathrm{e}^{\normalsize{\frac{-t}{5}}}+20.

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1. Au bout de combien de temps la température est-elle inférieure à 200 °C ?

2. Calculer f'(t) pour tout nombre t \geqslant 0 et en déduire les variations de f .

3. Démontrer que la température à l'intérieur du four ne peut jamais être inférieure à 20 °C.

4. Montrer que, pour tout t \geqslant 0 : f^{\prime}(t)+\dfrac{1}{5} f(t)=4.

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97
[Représenter.]

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{k x} où a, b, c et k sont des réels fixés.
La courbe représentative de la fonction f est donnée dans un repère orthogonal.
Celle-ci passe par les points \text{A} , \text{B} et \text{D} de coordonnées respectives (-2 ; 0), \left(-\dfrac{1}{2}\, ; 0\right) et (0\, ; 2). De plus, la droite (\text{CD}), où \text{C} est le point de coordonnées \left(-\dfrac{1}{2} ;-1\right), est tangente à la courbe en x=0.

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À l'aide de toutes ces informations, retrouver les valeurs des paramètres a , b , c et k .

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98
En médecine
[Modéliser.]

D'après Bac S - Centres étrangers - 2017.

La pharmacocinétique étudie l'évolution d'un médicament après son administration dans l'organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c'est-à-dire sa concentration dans le plasma.
On note f(t) la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre (μg·L^-1), du médicament, au bout de t heures après administration.
Si l'administration est faite par voie intraveineuse, f est modélisée par : f(t)=20 \, \mathrm{e}^{-0\text{,}1 t} avec t \in[0\, ;+\infty[. 1. Donner la concentration plasmatique initiale.

2. Étudier les variations de la fonction f sur [0 ;+\infty[.

3. On estime que le médicament est éliminé dès que laconcentration plasmatique est inférieure à 0,2 μg·L^-1. Compléter le programme ci-dessous qui donne le temps nécessaire à l'élimination de ce médicament (à 0,1 heure près).

from math import*
C = ...
t = ...
while ... :
	...
  ...
print(t)

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99
[Modéliser.]
D'après Bac ES - Antilles Guyane - 2017.
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail.
La production minimale est de 10 tonnes. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en milliers d'euros, correspondant à la production d'une quantité de q dizaines de tonnes d'aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction \mathrm{B} donnée par \mathrm{B}(q)=10-\dfrac{\mathrm{e}^{0,2 q+1}}{q}.

1. Sur quel intervalle \mathrm{I} est définie \mathrm{B} ?

2. a. Démontrer que, pour tout réel q \in \mathrm{I} :
\mathrm{B}^{\prime}(q)=\dfrac{(1-0\text{,}2 q) \, \mathrm{e}^{0,2 q+1}}{q^{2}}.

b. Étudier le signe de \mathrm{B}'(q) sur \mathrm{I}.

c. En déduire le tableau de variations de la fonction \mathrm{B} sur \mathrm{I}.

Cliquez ici pour avoir accès à un espace de dessin

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3. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?

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100
[Modéliser.]
Une entreprise fabrique x centaines d'objets, où x appartient à l'intervalle [0 ; 40] .
On suppose que toute la production de l'entreprise est vendue et que le bénéfice, en milliers d'euros, de cette entreprise peut être modélisé par une fonction f définie sur [0 ; 40] par f(x)=(10 x-10)\, \mathrm{e}^{-0,1 x}. 1. Déterminer la perte de l'entreprise lorsqu'il n'y a pas de production.

2. Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel sera alors le montant de ce bénéfice ?

3. À partir de quelle quantité produite et vendue l'entreprise réalise un bénéfice ?

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101
Python
[Modéliser.]
Le nombre \mathrm{e} peut être approché par le nombre \mathrm{A}_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} lorsque n devient infiniment grand.

1. Calculer \mathrm{A}_{1} et \mathrm{A}_{2}. Ces approximations semblent-elles satisfaisantes ? Justifier.

2. Écrire un programme avec Python qui calcule \mathrm{A}_{n} pour une valeur de n donnée.

Cliquez pour accéder à la correction

a. Pour n = 100 , avec quelle précision le nombre \mathrm{A}_{n} est une valeur approchée de \mathrm{e} ?

b. Pour n = 10\,000 , avec quelle précision le nombre \mathrm{A}_{n} est une valeur approchée de \mathrm{e} ?

c. Faire un dernier test avec n = 1\,000\,000 .

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102
Tableau
[Représenter.]

Théo place un capital de 1\,000 euros sur un livret au taux composé annuel de 3,5 % (ce qui signifie que le capital dont dispose Théo augmente de 3,5% par an). 1. Quel sera le capital de Théo à l'issue de deux années de placement ?

2. À l'aide du tableur ci-dessous, expliquer pourquoi la fonction f définie sur [0\, ;+\infty[ par f(x)=1000\, \mathrm{e}^{0,034 x} est une bonne approximation de l'évolution du capital.

3. Théo souhaite récupérer son placement au bout de 5 ans et 10 mois. Combien peut-il espérer obtenir ?

GeoGebra

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103
[Calculer.]

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}.

Cette fonction est appelée cosinus hyperbolique. Sa courbe représentative modélise par exemple le câble électrique tendu entre deux poteaux.

Fonction exponentielle cosinus hyberbolique

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1. a. Montrer que la fonction f est paire.

b. Quelle interprétation graphique peut-on faire ?

2. a. Calculer f'(x) pour tout réel x .

b. Étudier le signe de f'(x).

c. En déduire les variations de f sur \mathbb{R}.

3. Représenter la fonction f dans un repère.

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Histoire des maths

Jacques (Jakob de son vrai prénom) Bernoulli est un mathématicien et physicien suisse du XVII^e siècle. Il avait lancé un défi : « étudier la courbe obtenue par un câble tendu entre deux poteaux ». La réponse a été trouvée de manière indépendante par Gottfried W. Leibniz, Christian Huyghens et Jean Bernoulli (son frère): cette courbe a été appelée chaînette et est obtenue à l'aide du cosinus hyperbolique. Jacques Bernoulli qui a mis en place l'exponentielle à l'aide de sa relation fonctionnelle, a compris le calcul différentiel proposé par Leibniz et a beaucoup contribué à l'avancée du calcul des probabilités. On lui doit l'approximation de e par \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} quand n devient très grand.

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104
En physique
[Modéliser.]
Les noyaux radioactifs se désintègrent au cours du temps. Si l'on regarde un échantillon de \mathrm{N}_{0} noyaux radioactifs au temps t = 0 , alors le nombre \mathrm{N}(t) de noyaux radioactifs à l'instant t vérifie l'équation \tau\, \mathrm{N}^{\prime}(t)+\mathrm{N}(t)=0 \text { où } \mathrm{N}(0)=\mathrm{N}_{0} et \tau est un réel strictement positif appelé constante radioactive qui dépend de l'élément radioactif considéré. 1. Montrer que la fonction \mathrm{N}(t)=\mathrm{N}_{0} \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right) vérifie les conditions données.

2. Démontrer que la fonction \mathrm{N} est décroissante sur \mathbb{R}^{+}. Quelle interprétation concrète peut-on faire ? Est-ce surprenant ?

3. On notera \ln(2) l'unique solution de l'équation \mathrm{e}^{x}=2. Montrer que le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié par rapport au temps initial lorsque t=\tau\, \ln (2).
On appelle ce réel le « temps de demi-vie » de l'élément radioactif.

4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe de \mathrm{N} en t = 0 . L'abscisse de ce point est appelée « durée de vie moyenne » de l'échantillon.

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105
[Modéliser.]

Pour modéliser la croissance d'une population soumise à des limitations de ressources, le mathématicien Pierre-François Verhulst propose, en 1838, d'étudier des équations de la forme \mathrm{P}^{\prime}(t)=r\,\mathrm{P}(t)\left(1-\dfrac{\mathrm{P}(t)}{\mathrm{K}}\right) où \mathrm{P}(t) est la population au temps t, r est le taux de croissance de la population et \mathrm{K} la capacité d'accueil de la population, en lien avec les ressources disponibles. On appelle \mathrm{P}_{0} la population initiale. 1. Montrer que la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(t)=\dfrac{\mathrm{K\,P}_{0} \mathrm{e}^{r t}}{\mathrm{K}+\mathrm{P}_{0}\left(\mathrm{e}^{r t}-1\right)} vérifie l'équation donnée plus haut.

2. Que se passe-t-il lorsque \mathrm{P}_{0}= \mathrm{K} ? Quelle interprétation concrète peut-on faire ?

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Club de Maths

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106
Défi
Est-il vrai que la courbe représentative de la fonction exponentielle est située au-dessus de toutes ses tangentes ? Justifier.

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107
Défi

On recherche des fonctions f définies sur \mathbb{R} et qui vérifient pour tous nombres réels x et y :
f(x+y)=f(x) \times f(y).

1. Montrer que, pour tout réel a, la fonction x \mapsto \mathrm{e}^{a x} vérifie cette propriété.

2. Montrer que s'il existe un y tel que f(y) = 0, alors f est la fonction identiquement nulle (x \mapsto 0).

3. On suppose que f ne s'annule pas.
a. Montrer que f(0)=1.

b. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)>0.

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108
Énigme
Pourquoi dit-on qu'une croissance exponentielle est plus forte que la croissance de la fonction carré ?

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

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