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66
[Calculer.]
On considère la fonction f définie pour tout
réel t par f(t)=2 \, \mathrm{e}^{-6 t}. Vérifier que, pour tout t \in \mathbb{R},f^{\prime}(t)+6 f(t)=0.
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67
[Calculer.]
On considère la fonction f définie pour tout réel t par f(t)=\mathrm{e}^{3 t}.1. Justifier que f est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer f'(t).
2. Vérifier que, pour tout t \in \mathbb{R}, f^{\prime}(t)-3 f(t)=0.
3. Trouver une fonction g définie sur \mathbb{R} telle que, pour
tout t \in \mathbb{R}, g^{\prime}(t)=f(t).
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68
[Raisonner.]
On cherche une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R}
telle que, pour tout x \in \mathbb{R},4 f^{\prime}(x)+3 f(x)=0. Parmi
les fonctions suivantes, lesquelles sont solutions de
cette équation ?
1.g : x \mapsto \mathrm{e}^{x}
2.h : x \mapsto 0
3.p : x \mapsto \mathrm{e}^{-\frac{3 x}{4}}
4.q : x \mapsto 4 \,\mathrm{e}^{-3 x}
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69
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la
fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R}.1.f(x)=5\,\mathrm{e}^{x}-x^{2}
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70
[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée, sous forme factorisée,
de la fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} .1.f(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x}
2.f(x)=(-2 x+3) \, \mathrm{e}^{x}
3.f(x)=x^{2} \, \mathrm{e}^{x}
4.f(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \mathrm{e}^{x}
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71
[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie
et dérivable sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.1.f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}
2.f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}
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72
[Calculer.]
Pour chaque fonction f définie ci-dessous, donner
le domaine de définition ainsi que l'expression de la
fonction dérivée f' .1.f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}
2.f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}-1}
3.f(x)=\mathrm{e}^{x}+1
4.f(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{t}+1}{t-1}
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73
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes dans \mathbb{R}. 1.\mathrm{e}^{x-4}=\mathrm{e}
2.\mathrm{e}^{x^{2}+x}=1
3.\mathrm{e}^{-x^{2}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}
4.3+\mathrm{e}^{x}=1
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75
[Chercher.]
Sur sa copie, Ikrane a écrit la résolution suivante.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. En remplaçant x par –1, l'égalité est-elle vérifiée ?
2. À quelle ligne se trouve l'erreur d'Ikrane ?
3. Résoudre convenablement dans \mathbb{R} l'équation \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{2}.
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76
[Chercher.]
On a tracé la représentation graphique d'une fonction
f définie sur \mathbb{R} . On sait que pour tout réel x ,f(x)=(a x+b) \, \mathrm{e}^{x}, où a et b sont des réels.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Déterminer graphiquement f(0) et f(2) .
2. En déduire la valeur des réels a et b .
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77
[Calculer.] 1. Montrer que, pour tout réel t , on a 3 t^{2}+5 t-2=(3 t-1)(t+2).
2. En déduire la résolution de
\left(3 t^{2}+5 t-2\right) \mathrm{e}^{2 t-1}=0.
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78
[Calculer.] Résoudre le système d'équations suivant \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{3}} \\ {\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}=1}\end{array}\right.
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79
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans \mathbb{R} .1.\mathrm{e}^{x+3} \lt \mathrm{e}^{4}
2.\mathrm{e}^{-2 x+1}>\mathrm{e}^{x-7}
3.\mathrm{e}^{9 t-1} \leqslant \mathrm{e}^{4 t}
4.\mathrm{e}^{t+4} \geqslant \mathrm{e}^{-3 t}
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80
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans \mathbb{R} .1.\mathrm{e}^{x+1} \lt 1
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81
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans \mathbb{R} .
1.(x-1)\, \mathrm{e}^{x} \,>0
2.(-2 x+3) \, \mathrm{e}^{x} \lt 0
3.x^{2}\, \mathrm{e}^{-2 x+5} \geqslant 0
4.\dfrac{x-4}{\mathrm{e}^{x}} \leqslant 0
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82
[Chercher.]
On considère deux fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par {f(x)=(x-2)\, \mathrm{e}^{x}} et {g(x)=\dfrac{2(x-1)(x+3)}{3} \mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}}.}
La représentation graphique de ces fonctions est
donnée ci-après.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = g(x) sur [-5 ; 2]. On appelle a la solution strictement négative de cette équation.
3. Montrer que, pour tout réel
x \lt -3,g(x)>0>f(x).
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83
Python
[Calculer.]
f et g désignent les deux fonctions
de l'exercice précédent. On souhaite savoir si
l'équation f(x) = g(x) possède une solution
strictement positive sur \mathbb{R} .
from math import exp
for i in range(...):
f = ...
g = 2*(i-1)*(i+3)*exp(i/2)/3
diff = ...
print(diff)
1. Compléter le programme ci-dessus écrit en Python pour calculer les valeurs de f(n)-g(n) où n parcourt
tous les entiers de 1 à 10.
Cliquez pour accéder à la correction
2. À partir des valeurs obtenues, donner un encadrement de la solution de l'équation f(x)=g(x).
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84
[Calculer.]
Étudier le signe des expressions suivantes sur \mathbb{R} .
1.5 \, \mathrm{e}^{x}-5
2.(3 x-1) \, \mathrm{e}^{x}
3. (-8 x+4)(3 x-1) \, \mathrm{e}^{x-2}
4. \dfrac{6 x-5}{\mathrm{e}^{3 x-1}}
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85
[Représenter.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{2 x}.
1. Justifier que f est dérivable sur \mathbb{R} puis calculer,
pour tout nombre réel x,f'(x) .
2. Étudier le signe de f'(x) sur \mathbb{R} .
3. En déduire les variations de f sur \mathbb{R} .
4. Tracer la courbe représentant f dans un repère.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
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86
[Représenter.]
f est définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{-3 x}1. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.
2. Tracer la courbe représentant f dans un repère.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
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87
[Chercher.]
On a tracé, dans un repère orthonormé, les courbes C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} et C_{5}, représentant les fonctions f ,g ,h ,p et q définies sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}, g(x)=\mathrm{e}^{x},h(x)=\mathrm{e}^{2 x}, p(x)=\mathrm{e}^{-x} et q(x)=\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{1}{2}}x}.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Sachant que A a pour coordonnées (1 ; \mathrm{e}), associer à
chaque fonction sa courbe représentative.
1.f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}
2.g(x)=\mathrm{e}^{x}
3.h(x)=\mathrm{e}^{-x}
4.p(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}
5.q(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}
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88
[Chercher.]
On a tracé, dans un repère orthonormé, les courbes C_{1},C_{2},C_{3} et C_{4} représentant les fonctions f ,g ,h , et p définies sur \mathbb{R} par f(x)=(3 x-2) \, \mathrm{e}^{x}, g(x)=(-5 x-2) \mathrm{e}^{-x},h(x)=(x-1)\, \mathrm{e}^{2 x} et p(x)=(x+2)\, \mathrm{e}^{-x}.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Associer à chaque fonction sa courbe représentative.
1.f(x)=(3 x-2) \, \mathrm{e}^{x}
2.g(x)=(-5 x-2) \, \mathrm{e}^{-x}
3.h(x)=(x-1) \, \mathrm{e}^{2 x}
4.p(x)=(x+2)\, \mathrm{e}^{-x}
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