48
Démo
[Raisonner.]
On souhaite démontrer que, pour tous réels x et y, \mathrm{e}^{x-y}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}. 1. Écrire \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}} sous la forme d'un produit.

2. Sachant que \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{x+y} et \mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}, démontrer la proposition énoncée.

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

49
[Calculer.]
Simplifier au maximum les expressions suivantes ; c'est-à-dire en n'utilisant qu'une seule fois l'exponentielle dans l'expression finale.
1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{5} \times\left(\mathrm{e}^{3}\right) \times \mathrm{e}^{-4}

2. \mathrm{B}=\dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{-4}}

3. \mathrm{C}=\dfrac{\mathrm{e}^{-3} \times \mathrm{e}^{8}}{\mathrm{e}^{3}}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

50
[Calculer.]

Simplifier au maximum les expressions suivantes. 1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{2} \times \mathrm{e}^{32} \times \mathrm{e}^{8}

2. \mathrm{B}=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{5}}

3. \mathrm{C}=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{3} \times \mathrm{e}^{4}}{\mathrm{e}^{-4}}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

51
[Calculer.]
x est un réel quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes.

1. a(x)=\mathrm{e}^{2 x} \times\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{-3 x}

2. b(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}

3. c(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x-1} \times \mathrm{e}^{4 x}}{\mathrm{e}^{x}}

4. d(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-2 x}}{\mathrm{e}^{-3 x} \times \mathrm{e}^{x+1}}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

52
[Calculer.]
t est un réel quelconque. Simplifer au maximum les expressions suivantes. 1. d(t)=\mathrm{e}^{3 t} \times \mathrm{e}^{1-6 t} \times\left(\mathrm{e}^{2 t+1}\right)^{3}

2. e(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{8 t-3}}{\mathrm{e}^{2 t+5}}

3. f(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{-2 t+1} \times \mathrm{e}^{6 t+5}}{\mathrm{e}^{-4 t-2}}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

53
[Calculer.]

n est un entier relatif quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes. 1. u(n)=\mathrm{e}^{2 n+1} \times \mathrm{e}^{3 n-4}

2. v(n)=\dfrac{\mathrm{e}^{5 n-3}}{\mathrm{e}^{-2 n+1}}

3. w(n)=\left(\mathrm{e}^{2 n-1}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{3 n+4}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

54
[Calculer.]
x est un réel quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes. 1. g(x)=\left(\mathrm{e}^{4 x-5} \times \mathrm{e}^{3 x+2}\right)^{3}

2. h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{3 x}}{\mathrm{e}^{-x} \times\left(\mathrm{e}^{-3 x}\right)^{2}}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

55
[Calculer.]

Dans GeoGebra, la commande Simplifier permet d'écrire une fonction sous la forme la plus simple possible.

Généralités sur la fonction exponentielle

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Vérifier que l'expression saisie se simplifie bien en \mathrm{e}^{-(13 x+7)}.

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

56
[Calculer.]

Développer et réduire les expressions suivantes. 1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{4}\left(\mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}^{7}\right)

2. \mathrm{B}=\left(\mathrm{e}^{2}+\mathrm{e}^{6}\right)\left(\mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}\right)

3. \mathrm{C}=\left(\mathrm{e}^{8}-\mathrm{e}^{2}\right)\left(\mathrm{e}^{6}+1\right)

4. \mathrm{D}=\left(\mathrm{e}^{-2}+\mathrm{e}^{3}\right)\left(\mathrm{e}^{-2}-\mathrm{e}^{8}\right)

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

57
[Calculer.]
Développer et réduire les expressions suivantes. 1. \mathrm{A}=\left(\mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}^{5}\right)^{2}

2. \mathrm{B}=\left(\mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}^{-2}\right)^{2}

3. \mathrm{C}=\left(\mathrm{e}^{6}-\mathrm{e}^{-4}\right)\left(\mathrm{e}^{6}+\mathrm{e}^{-4}\right)

4. \mathrm{D}=\left(2 \, \mathrm{e}^{4}-3 \, \mathrm{e}^{-1}\right)^{2}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

58
[Calculer.]
t est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes. 1. \mathrm{A}(t)=\left(\mathrm{e}^{t}-1\right)\left(\mathrm{e}^{t}+1\right)

2. \mathrm{B}(t)=\left(\mathrm{e}^{t}+3\right)^{2}

3. \mathrm{C}(t)=\left(\mathrm{e}^{2 t}-2\right)^{2}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

59
[Calculer.]
x est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes. 1. \mathrm{D}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-2 x}\right)^{2}

2. \mathrm{E}(x)=\left(\mathrm{e}^{3 x}-\mathrm{e}^{5 x}\right)^{2}

3. \mathrm{F}(x)=\left(\mathrm{e}^{-2 x}-\mathrm{e}^{x}\right)\left(\mathrm{e}^{-2 x}+\mathrm{e}^{x}\right)

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

60
[Calculer.]
x est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes. 1. \mathrm{O}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}

2. \mathrm{P}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}-\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

61
[Calculer.]

Démontrer les égalités suivantes pour tout réel x . 1. \dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}}=1-\mathrm{e}^{-x}

2. \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{2 x}-1}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

62
[Calculer.]
Démontrer l'égalité suivante pour tout réel x .

\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{3 x}\left(\mathrm{e}^{2 x}+1\right)

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

63
[Calculer.]
Soit x \in \mathbb{R}. Factoriser les expressions suivantes.

1. \mathrm{e}^{4 x}+\mathrm{e}^{x}

2. \mathrm{e}^{4 x}-1

3. \mathrm{e}^{6 x}+4\, \mathrm{e}^{3 x}+4

4. 9\,\mathrm{e}^{-2 x}-6+\mathrm{e}^{2 x}

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

64
Tableur
[Calculer.]

On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par {f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2 x} \times \mathrm{e}^{3 x+2}}{\mathrm{e}^{-x}}} et {g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{4 x} \times \mathrm{e}^{3 x+5}}{\mathrm{e}^{x-1}}.}

On souhaite comparer ces deux fonctions à l'aide d'un tableur. Dans un tableur, la fonction exponentielle s'appelle EXP.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Quelle formule a-t-on entrée dans la case B2 avant de l'étirer vers le bas pour obtenir les images par f des nombres x de la colonne A ?

2. Faire de même avec les images par g dans la colonne C.

3. a. Démontrer que la fonction g ne s'annule jamais.

b. Dans la colonne D, calculer les rapports \dfrac{f(x)}{g(x)}. Que remarque-t-on ?

4. Démontrer cette conjecture par le calcul.

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

65
Python
[Calculer.]
En Python, l'exponentielle fait partie de la librairie math. Pour pouvoir l'utiliser, il faut en première ligne du programme entrer l'instruction from math import exp.

1. Calculer à la main \mathrm{e}^{4}-\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{2}.

2. Calculer et afficher \mathrm{e}^{4}-\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{2} avec Python. Qu'obtient-on ? Pourquoi ?

Cliquez pour accéder à la correction

Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais

Yolène

Émilie

Jean-Paul

Fatima

Sarah

Utilisation des cookies

Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.