Mathématiques 1re Spécialité
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Rappels de seconde
Chapitre 6
TP / TICE 1
La méthode d'Euler pour tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle
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Énoncé
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle
en utilisant seulement sa définition : c'est l'unique fonction f
définie et dérivable sur \mathbb{R} telle que f' = f et f(0) = 1.
Question préliminaire :
1. Soit h > 0. Rappeler la définition du nombre dérivé de la fonction f en x = a .
2. Expliquer alors pourquoi on peut écrire que « très près de a » (on dit au voisinage de a ) : f(a+h) \approx f(a)+h f^{\prime}(a).
Question préliminaire :
1. Soit h > 0. Rappeler la définition du nombre dérivé de la fonction f en x = a .
2. Expliquer alors pourquoi on peut écrire que « très près de a » (on dit au voisinage de a ) : f(a+h) \approx f(a)+h f^{\prime}(a).
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Objectif
Construire point par point la courbe représentative
de la fonction exponentielle sur
l'intervalle [0 ; 1] à l'aide des segments
représentant des fonctions affines en
utilisant une des deux méthodes.
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Le segment [\text{AB}] représente une fonction affine sur l'intervalle [0 ; 0\text{,}4] et est
proche de la courbe représentant la fonction f telle que f(0)=1 et f'(0) = 1 avec h = 0{,}4.
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Méthode 1GeoGebra
On choisit de partager l'intervalle [0 ; 1] en dix intervalles
réguliers (appelés subdivision régulière).
1. a. Quel sera le pas h de la subdivision ?
b. En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la question préliminaire 2. , donner une approximation affine de f(0{,}1).
c. Quelle est la valeur approximative de f'(0\text{,}1) ?
d. En déduire une approximation affine de f(0{,}2) .
b. En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la question préliminaire 2. , donner une approximation affine de f(0{,}1).
c. Quelle est la valeur approximative de f'(0\text{,}1) ?
d. En déduire une approximation affine de f(0{,}2) .
2. Construire une
feuille de tableur sur GeoGebra comme ci-dessus.
3. Représenter le nuage de points associé à cette feuille de calculs et tracer une courbe approximative de la fonction exponentielle sur l'intervalle [0 ; 1].
4. Comment obtenir une courbe plus précise ? Faire des essais.
GeoGebra
3. Représenter le nuage de points associé à cette feuille de calculs et tracer une courbe approximative de la fonction exponentielle sur l'intervalle [0 ; 1].
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4. Comment obtenir une courbe plus précise ? Faire des essais.
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Méthode 2Python
On choisit de partager l'intervalle [0\, ; 1] en dix
intervalles réguliers (appelés subdivision régulière).
1. a. Quel sera le pas h de la subdivision ?
b. En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la question préliminaire 2., donner une approximation affine de f(0\text{,}1) .
c. Quelle est la valeur approximative de f'(0{,}1) ?
d. En déduire une approximation affine de f(0{,}2) .
b. En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la question préliminaire 2., donner une approximation affine de f(0\text{,}1) .
c. Quelle est la valeur approximative de f'(0{,}1) ?
d. En déduire une approximation affine de f(0{,}2) .
2. Le programme ci-dessous donne une courbe
approchant la représentation graphique de la
fonction exponentielle sur l'intervalle [0 ; 1]. Où
apparaît le nombre de subdivisions régulières ?
3. Expliquer le code des lignes 9 à 13.
4. Exécuter ce programme avec dix puis cent subdivisions et comparer le résultat avec la courbe de la fonction exponentielle.
from matplotlib import pyplot as plt n = 10 x = [] #liste des abscisses y = [] #liste des ordonnées x = x + [0] y = y + [1] for k in range(1, n + 1): a = float(x[k - 1]) + 1/n x = x + [a] b = (1 + 1/n)*float(y[k - 1]) y = y + [b] # Affichage des points dans le repère plt.clf() plt.plot(x, y, marker='o', linestyle='-') plt.show()
3. Expliquer le code des lignes 9 à 13.
4. Exécuter ce programme avec dix puis cent subdivisions et comparer le résultat avec la courbe de la fonction exponentielle.
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