Mathématiques 1re Spécialité

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 6
TP / TICE 1

La méthode d'Euler pour tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle

18 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle en utilisant seulement sa définition : c'est l'unique fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} telle que f' = f et f(0) = 1.

Question préliminaire :
1. Soit h > 0. Rappeler la définition du nombre dérivé de la fonction f en x = a .

2. Expliquer alors pourquoi on peut écrire que « très près de a » (on dit au voisinage de a ) : f(a+h) \approx f(a)+h f^{\prime}(a).
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
La méthode d'Euler pour tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Objectif
Construire point par point la courbe représentative de la fonction exponentielle sur l'intervalle [0 ; 1] à l'aide des segments représentant des fonctions affines en utilisant une des deux méthodes.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Le segment [\text{AB}] représente une fonction affine sur l'intervalle [0 ; 0\text{,}4] et est proche de la courbe représentant la fonction f telle que f(0)=1 et f'(0) = 1 avec h = 0{,}4.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 1
GeoGebra

On choisit de partager l'intervalle [0 ; 1] en dix intervalles réguliers (appelés subdivision régulière).
1. a. Quel sera le pas h de la subdivision ?

b. En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la question préliminaire 2. , donner une approximation affine de f(0{,}1).

c. Quelle est la valeur approximative de f'(0\text{,}1) ?

d. En déduire une approximation affine de f(0{,}2) .

Placeholder pour Tableur poru méthode d'EulerTableur poru méthode d'Euler
Le zoom est accessible dans la version Premium.

2. Construire une feuille de tableur sur GeoGebra comme ci-dessus.
Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail


3. Représenter le nuage de points associé à cette feuille de calculs et tracer une courbe approximative de la fonction exponentielle sur l'intervalle [0 ; 1].
Cliquez ici pour avoir accès à un espace de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

4. Comment obtenir une courbe plus précise ? Faire des essais.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 2
Python

On choisit de partager l'intervalle [0\, ; 1] en dix intervalles réguliers (appelés subdivision régulière).
1. a. Quel sera le pas h de la subdivision ?

b. En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la question préliminaire 2., donner une approximation affine de f(0\text{,}1) .

c. Quelle est la valeur approximative de f'(0{,}1) ?

d. En déduire une approximation affine de f(0{,}2) .

2. Le programme ci-dessous donne une courbe approchant la représentation graphique de la fonction exponentielle sur l'intervalle [0 ; 1]. Où apparaît le nombre de subdivisions régulières ?

from matplotlib import pyplot as plt

n = 10
x = [] #liste des abscisses
y = [] #liste des ordonnées
x = x + [0]
y = y + [1]

for k in range(1, n + 1):
	a = float(x[k - 1]) + 1/n
  x = x + [a]
  b = (1 + 1/n)*float(y[k - 1])
  y = y + [b]
  # Affichage des points dans le repère
plt.clf()
plt.plot(x, y, marker='o', linestyle='-')
plt.show()

3. Expliquer le code des lignes 9 à 13.

4. Exécuter ce programme avec dix puis cent subdivisions et comparer le résultat avec la courbe de la fonction exponentielle.
Cliquez ici pour avoir accès à un espace de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais

Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.