Certaines proportions de protons et neutrons dans le noyau d'un atome ne permettent pas la stabilité du noyau. Le noyau est alors dit radioactif. Les noyaux instables se désintègrent spontanément mais on ne peut prévoir à quel instant. Néanmoins, sur des échantillons comportant de très nombreux noyaux radioactifs, la courbe traduisant le nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps a toujours la même allure.
On admet que la fonction \mathrm{N} : t \mapsto \mathrm{N}_{0} \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right) où \mathrm{N}_{0} est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant initial t = 0 et \tau est une constante (appelée constante de temps) caractéristique du noyau radioactif étudié donne l'évolution du nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps.

On appelle demi-vie d'un échantillon radioactif la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux est divisé par deux par rapport au nombre de noyaux initial. Cette modélisation est vraie pour \mathrm{N}_{0} très grand. Dans le cadre de cet exercice, on se limitera à des valeurs plus raisonnables pour les logiciels.

On donne les caractéristiques suivantes pour des atomes particuliers.

1. La courbe ci-contre traduit l'évolution de noyaux radioactifs d'uranium 235. Estimer une valeur approchée de la demi-vie de cet atome.

2. Quelle est l'expression de la fonction \mathrm{N}(t) associée à cet échantillon d'uranium ?