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17
Est-il vrai que l'expression -x^{2} \mathrm{e}^{x} est strictement positive pour tout réel x ?

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18
 Étudier le signe de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(x-1)\, \mathrm{e}^{-2 x}.
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19
 Existe-t-il un nombre réel x tel que \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2}=\mathrm{e}^{2} ?

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20
 Justifier si la proposition suivante est vraie ou fausse : « si la fonction u : x \mapsto a x+b est strictement décroissante sur \mathbb{R} , alors la fonction \mathrm{e}^{u} est strictement décroissante sur \mathbb{R} ».

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21
Justifier si la proposition suivante est vraie ou fausse : « la tangente à la courbe représentant la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 a pour équation y = x + 1 ».

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22
Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R.}
1. f : x \mapsto \mathrm{e}^{x}+3


2. g : x \mapsto 3 \, \mathrm{e}^{x}


3. h : x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3}

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23
Écrire le nombre suivant sous la forme \exp(n) avec n \in \mathbb{Z}.
1. \exp (3) \times[\exp (4)]^{2}


2. \exp (-10) \times \exp (6)


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24
Écrire le nombre suivant sous la forme \exp(n) avec n \in \mathbb{Z}.
1. [\exp (5)]^{-3}


2. \dfrac{1}{[\exp (12)]^{-4}}


3. \dfrac{\exp (2) \times[\exp (-6)]^{2}}{\exp (3)}

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25
À l'aide de la calculatrice, donner un arrondi au millième des expressions suivantes.
1. \dfrac{\mathrm{e}^{-2}+\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{2}}{\mathrm{e}^{2}}


2. \mathrm{e}^{2}+\dfrac{\left(\mathrm{e}^{-3}\right)^{2}+1}{\mathrm{e}^{2}}


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26
 Simplifier les expressions suivantes.
1. \mathrm{e}^{5} \times \mathrm{e}^{-2} \times \mathrm{e}^{3}


2. \mathrm{e}^{5} \times\left(\mathrm{e}^{8}\right)^{2} \times \mathrm{e}


3. \mathrm{e}^{-4} \times\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{8} \times \mathrm{e}^{-1}


4. \left(\mathrm{e}^{5} \times \mathrm{e}^{2}\right)^{4}
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27
Simplifier les expressions suivantes.
1. \dfrac{\mathrm{e}^{6}}{\mathrm{e}^{2}}


2. \dfrac{\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{2}}{\mathrm{e}^{-2}}


3. \dfrac{\mathrm{e}^{-2} \times\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{2}}{\mathrm{e}^{2}}


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28
Compléter les pointillés dans chaque égalité en indiquant la réponse dans la case vide.

1. \mathrm{e}^{\cdots} \times \mathrm{e}^{7} \times \mathrm{e}^{-2}=\mathrm{e}^{3}


2. \left(\mathrm{e}^{3}\right)^{4} \times \mathrm{e}^{\cdots}=\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{-1}


3. \dfrac{\mathrm{e}^{\cdots}}{\mathrm{e}^{3}}=\mathrm{e}^{-1}


4. \dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{\cdots}}=\dfrac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{5}}
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29
 x est un nombre réel. Simplifier les expressions.
1. \mathrm{e}^{-2 x+1} \times \mathrm{e}^{x+3}


2. \mathrm{e}^{x+4} \times\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{-2 x}


3. \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}


4. \mathrm{e}^{x} \times x \, \mathrm{e}^{x}


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30
x est un nombre réel. Simplifier les expressions.

1. \dfrac{\mathrm{e}^{x} \times\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}{\mathrm{e}^{2 x}}


2. \dfrac{\mathrm{e}^{x+4}}{\mathrm{e}^{4 x}}


3. \dfrac{1}{\mathrm{e}^{3-2 x}}


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31
Déterminer le signe des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R} .

1. f(x)=3 \, \mathrm{e}^{x}


2. g(x)=2 \, \mathrm{e}^{-5 x}


3. h(x)=-\sqrt{2} \mathrm{e}^{-3 x}


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32
Déterminer le signe des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R.}

1. f(x)=\dfrac{1+\mathrm{e}^{4 x}}{x^{2}+2}


2. g(x)=\dfrac{-9}{-2-\mathrm{e}^{-8 x}}
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33
Calculer la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} .

1. f(x)=3 \mathrm{e}^{x}-5 x^{2}+2


2. f(x)=x-4 \mathrm{e}^{x}+1


3. f(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{3}


4. f(x)=x \mathrm{e}^{x}


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34
Calculer la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} et en déduire son tableau de variations.

1. f(x)=\mathrm{e}^{3 x}


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2. f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}


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3. f(x)=\mathrm{e}^{-x+4}


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4. f(x)=5 \,\mathrm{e}^{x+6}


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35
Résoudre les équations suivantes dans \mathbb{R.}

1. \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{-2}


2. \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}


3. \mathrm{e}^{x+2}=\mathrm{e}^{3}


4. \mathrm{e}^{2 x+1}=\mathrm{e}


5. \mathrm{e}^{x}=1


6. \mathrm{e}^{x}+4=0


7. \mathrm{e}^{x^{2}}=\mathrm{e}


8. \mathrm{e}^{x^{2}+1}=1


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36
 Résoudre les équations suivantes dans \mathbb{R}.

1. \mathrm{e}^{-x}=1


2. \mathrm{e}^{2 x-3}=\mathrm{e}


3. 5 \, \mathrm{e}^{3 x+1}=5


4. -2 \, \mathrm{e}^{x^{2}}=3


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37
Résoudre les inéquations suivantes dans \mathbb{R}.

1. \mathrm{e}^{2 x}>\mathrm{e}^{-2}


2. \mathrm{e}^{-3 x} \lt \mathrm{e}


3. \mathrm{e}^{3 x-5} \geqslant \mathrm{e}^{-3}


4. \mathrm{e}^{-2 x-1} \leqslant 1


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