17

Est-il vrai que l'expression -x^{2} \mathrm{e}^{x} est strictement positive pour tout réel x ?

18

Étudier le signe de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(x-1)\, \mathrm{e}^{-2 x}.

19

Existe-t-il un nombre réel x tel que \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2}=\mathrm{e}^{2} ?

20

Justifier si la proposition suivante est vraie ou fausse : « si la fonction u : x \mapsto a x+b est strictement décroissante sur \mathbb{R} , alors la fonction \mathrm{e}^{u} est strictement décroissante sur \mathbb{R} ».

21

Justifier si la proposition suivante est vraie ou fausse : « la tangente à la courbe représentant la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 a pour équation y = x + 1 ».

22

Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R.}

23

Écrire le nombre suivant sous la forme \exp(n) avec n \in \mathbb{Z}.
1. \exp (3) \times[\exp (4)]^{2}

2. \exp (-10) \times \exp (6)

24

Écrire le nombre suivant sous la forme \exp(n) avec n \in \mathbb{Z}.
1. [\exp (5)]^{-3}

2. \dfrac{1}{[\exp (12)]^{-4}}

3. \dfrac{\exp (2) \times[\exp (-6)]^{2}}{\exp (3)}

25

À l'aide de la calculatrice, donner un arrondi au millième des expressions suivantes.

26

Simplifier les expressions suivantes.

27

Simplifier les expressions suivantes.

29

x est un nombre réel. Simplifier les expressions.
1. \mathrm{e}^{-2 x+1} \times \mathrm{e}^{x+3}

2. \mathrm{e}^{x+4} \times\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{-2 x}

3. \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}

4. \mathrm{e}^{x} \times x \, \mathrm{e}^{x}

28

Compléter les pointillés dans chaque égalité en indiquant la réponse dans la case vide.

1. \mathrm{e}^{\cdots} \times \mathrm{e}^{7} \times \mathrm{e}^{-2}=\mathrm{e}^{3}

2. \left(\mathrm{e}^{3}\right)^{4} \times \mathrm{e}^{\cdots}=\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{-1}

3. \dfrac{\mathrm{e}^{\cdots}}{\mathrm{e}^{3}}=\mathrm{e}^{-1}

4. \dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{\cdots}}=\dfrac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{5}}

30

x est un nombre réel. Simplifier les expressions.

1. \dfrac{\mathrm{e}^{x} \times\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}{\mathrm{e}^{2 x}}

2. \dfrac{\mathrm{e}^{x+4}}{\mathrm{e}^{4 x}}

3. \dfrac{1}{\mathrm{e}^{3-2 x}}

31

Déterminer le signe des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R} .

1. f(x)=3 \, \mathrm{e}^{x}

2. g(x)=2 \, \mathrm{e}^{-5 x}

3. h(x)=-\sqrt{2} \mathrm{e}^{-3 x}

32

Déterminer le signe des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R.}

33

Calculer la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} .

34

Calculer la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} et en déduire son tableau de variations.

35

Résoudre les équations suivantes dans \mathbb{R.}

36

Résoudre les équations suivantes dans \mathbb{R}.

1. \mathrm{e}^{-x}=1

2. \mathrm{e}^{2 x-3}=\mathrm{e}

3. 5 \, \mathrm{e}^{3 x+1}=5

4. -2 \, \mathrm{e}^{x^{2}}=3

37

Résoudre les inéquations suivantes dans \mathbb{R}.

1. \mathrm{e}^{2 x}>\mathrm{e}^{-2}

2. \mathrm{e}^{-3 x} \lt \mathrm{e}

3. \mathrm{e}^{3 x-5} \geqslant \mathrm{e}^{-3}

4. \mathrm{e}^{-2 x-1} \leqslant 1