Fonction exponentielle

1

Calculer g(0).

2

Montrer que g est dérivable sur \R et que, pour tout nombre réel x, g'(x) = 0.

Aide

La dérivée de la fonction x \mapsto f(-x) est x \mapsto-f^{\prime}(-x).

3

Que peut-on en déduire concernant la fonction g ?

4

Donner l'expression de g(x) pour tout réel x en utilisant les résultats des questions

1

et

3

.

5

En utilisant la définition de la fonction g, montrer que, pour tout nombre réel x, on a f(x) \neq 0.

Aide

On suppose qu'il existe un nombre réel x_{0} tel que f(x_{0}) = 0 et on calcule g(x_{0}).

1

Justifier que h est bien définie sur \mathbb{R.}

2

Justifier que h est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer sa fonction dérivée.

3

En déduire l'expression de h(x) pour tout réel x.

Aide

Commencer par calculer l'expression de h(x) pour une valeur particulière de x .

4

Que peut-on alors en déduire pour les fonctions f et g ?

Lorsque l'on injecte une dose de médicament dans le sang d'un patient, la quantité de médicament, exprimée en nombre de molécules, diminue naturellement au cours du temps.

On injecte, au temps t = 0 , une dose \mathrm{D}_{0} de médicament.
On suppose que la quantité de médicament présente dans le sang diminue de moitié chaque heure. On note \mathrm{D}(t) la quantité de médicament présente au temps t, mesurée en heure. On a donc par exemple \mathrm{D}(1)=\dfrac{1}{2} \mathrm{D}_{0} et \mathrm{D}(2)=\dfrac{1}{4} \mathrm{D}_{0}.

Dans un repère orthogonal, placer les points de coordonnées (0 ; \mathrm{D}_{0}) , (1 ; \mathrm{D}(1)), (2 ; \mathrm{D}(2)), (3 ; \mathrm{D}(3)) et (4 ; \mathrm{D}(4)). En ordonnée, on prendra 8 carreaux pour \mathrm{D}_{0} unités.

2

Montrer qu'il n'est pas correct d'affirmer que la quantité de médicament diminue d'un quart toutes les 30 minutes.

Soient h un entier naturel et t un réel positif.
a) Exprimer le rapport \dfrac{\mathrm{D}(t+h)}{\mathrm{D}(t)} en fonction de h.

b) Quel lien peut-on faire avec un taux d'évolution ? Ce taux d'évolution est-il constant ?

Aide

Si, en une heure, la quantité de médicament diminue de moitié, de combien diminue-t-elle en h heures ?

4

À la calculatrice, estimer la valeur \mathrm{e}^{-0,69} à 10^-2 près.

On considère la fonction g : x \mapsto \mathrm{D}_{0} \times \mathrm{e}^{-0,69 x}. Tracer la courbe représentative de g à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra en prenant \mathrm{D}_{0} = 8.

6

En utilisant les questions précédentes, montrer que g est une bonne approximation de la fonction \mathrm{D}.

On suppose maintenant que la quantité de médicament dans le sang diminue de moitié la première heure, puis elle diminue d'un tiers l'heure suivante, puis d'un quart l'heure d'après, etc.
a) En prenant \mathrm{D}_{0} = 12 , réaliser le nuage de points représentant cette situation jusqu'à \mathrm{D}_{4}.


b) À l'aide de GeoGebra, peut-on trouver un réel positif k tel que la fonction x \mapsto \mathrm{D}_{0} \times \mathrm{e}^{-k x} soit une bonne approximation de la situation ?

En 1731, Leonhard Euler a démontré que le nombre e est irrationnel. Il a donné une approximation de ce nombre avec 23 décimales.