Mathématiques 1re Spécialité

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Chapitre 6
Activité

Fonction exponentielle

13 professeurs ont participé à cette page
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A
Démontrer qu'une expression ne s'annule pas

Objectif : Démontrer une propriété qui sera utilisée pour définir la fonction exponentielle.
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On admet qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} qui vérifie f(0) = 1 et f'(x) = f(x) pour tout x \in \mathbb{R}.
On note g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=f(x) \times f(-x).

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1
Calculer g(0).

2
Montrer que g est dérivable sur \R et que, pour tout nombre réel x, g'(x) = 0.
Aide
La dérivée de la fonction x \mapsto f(-x) est x \mapsto-f^{\prime}(-x).

3
Que peut-on en déduire concernant la fonction g ?

4
Donner l'expression de g(x) pour tout réel x en utilisant les résultats des questions
1
et
3
.

5
En utilisant la définition de la fonction g, montrer que, pour tout nombre réel x, on a f(x) \neq 0.
Aide
On suppose qu'il existe un nombre réel x_{0} tel que f(x_{0}) = 0 et on calcule g(x_{0}).

Logique

On utilise un raisonnement par l'absurde. On suppose la négation de la conclusion et en utilisant les hypothèses, une égalité fausse apparaît. La négation de la conclusion est donc fausse, la conclusion est ainsi vraie.
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Bilan
Que peut-on dire d'une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} qui vérifie : f(0) = 1 et f' = f ?

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B
Démontrer qu'une fonction est unique

Objectif : Démontrer que la fonction f définie dans l'activité précédente est unique.
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Comme dans l'activité précédente, on considère la fonction f définie et dérivable sur \R qui vérifie f(0) = 1 et f'(x) = f(x) pour tout x \in \mathbb{R}. On suppose maintenant qu'il existe une deuxième fonction g qui vérifie cette relation. g est donc une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} telle que g(0) = 1 et g^{\prime}(x)=g(x) pour tout x \in \mathbb{R}. On définit également la fonction h pour tout x \in \mathbb{R}. par h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}.
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1
Justifier que h est bien définie sur \mathbb{R.}

2
Justifier que h est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer sa fonction dérivée.

3
En déduire l'expression de h(x) pour tout réel x.
Aide
Commencer par calculer l'expression de h(x) pour une valeur particulière de x .

4
Que peut-on alors en déduire pour les fonctions f et g ?

Logique

Pour démontrer qu'une fonction f est unique, on suppose qu'il existe une fonction g qui vérifie les mêmes hypothèses que f et on démontre que f(x) = g(x) pour tout réel x .
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Bilan
Donner une nouvelle propriété d'une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} et qui vérifie f(0) = 1 et f'= f .

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C
Du discret vers le continu

Objectif : Modéliser une situation à l'aide d'une fonction exponentielle pour passer du cas discret au cas continu.
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Lorsque l'on injecte une dose de médicament dans le sang d'un patient, la quantité de médicament, exprimée en nombre de molécules, diminue naturellement au cours du temps.

On injecte, au temps t = 0 , une dose \mathrm{D}_{0} de médicament.
On suppose que la quantité de médicament présente dans le sang diminue de moitié chaque heure. On note \mathrm{D}(t) la quantité de médicament présente au temps t, mesurée en heure. On a donc par exemple \mathrm{D}(1)=\dfrac{1}{2} \mathrm{D}_{0} et \mathrm{D}(2)=\dfrac{1}{4} \mathrm{D}_{0}.

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1
Dans un repère orthogonal, placer les points de coordonnées (0 ; \mathrm{D}_{0}) , (1 ; \mathrm{D}(1)), (2 ; \mathrm{D}(2)), (3 ; \mathrm{D}(3)) et (4 ; \mathrm{D}(4)). En ordonnée, on prendra 8 carreaux pour \mathrm{D}_{0} unités.
Aide
Utiliser le fait que la quantité de médicaments diminue de moitié en une heure.
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2
Montrer qu'il n'est pas correct d'affirmer que la quantité de médicament diminue d'un quart toutes les 30 minutes.

Logique

Sans aucune autre information, un nuage de points est insuffisant pour définir une unique fonction.

3
Soient h un entier naturel et t un réel positif.
a) Exprimer le rapport \dfrac{\mathrm{D}(t+h)}{\mathrm{D}(t)} en fonction de h.

b) Quel lien peut-on faire avec un taux d'évolution ? Ce taux d'évolution est-il constant ?
Aide
Si, en une heure, la quantité de médicament diminue de moitié, de combien diminue-t-elle en h heures ?

4
À la calculatrice, estimer la valeur \mathrm{e}^{-0,69} à 10-2 près.

5
On considère la fonction g : x \mapsto \mathrm{D}_{0} \times \mathrm{e}^{-0,69 x}. Tracer la courbe représentative de g à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra en prenant \mathrm{D}_{0} = 8.

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6
En utilisant les questions précédentes, montrer que g est une bonne approximation de la fonction \mathrm{D}.

7
On suppose maintenant que la quantité de médicament dans le sang diminue de moitié la première heure, puis elle diminue d'un tiers l'heure suivante, puis d'un quart l'heure d'après, etc.
a) En prenant \mathrm{D}_{0} = 12 , réaliser le nuage de points représentant cette situation jusqu'à \mathrm{D}_{4}.

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b) À l'aide de GeoGebra, peut-on trouver un réel positif k tel que la fonction x \mapsto \mathrm{D}_{0} \times \mathrm{e}^{-k x} soit une bonne approximation de la situation ?

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Bilan
Que peut-on modéliser à l'aide d'une fonction exponentielle ?

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Histoire des maths

En 1731, Leonhard Euler a démontré que le nombre e est irrationnel. Il a donné une approximation de ce nombre avec 23 décimales.

Placeholder pour Leonhard EulerLeonhard Euler
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