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A
Démontrer qu'une expression ne s'annule pas
Objectif : Démontrer une propriété qui sera utilisée pour définir la fonction exponentielle.
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On admet qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} qui
vérifie f(0) = 1 et f'(x) = f(x) pour tout x \in \mathbb{R}.
On note g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=f(x) \times f(-x).
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1
Calculer g(0).
2
Montrer que g est dérivable sur \R et que, pour tout nombre réel x,g'(x) = 0.
Aide
La dérivée de la fonction x \mapsto f(-x) est
x \mapsto-f^{\prime}(-x).
3
Que peut-on en déduire concernant la fonction g ?
4
Donner l'expression de g(x) pour tout réel x en utilisant les résultats des questions
1
et
3
.
5
En utilisant la définition de la fonction g, montrer que, pour
tout nombre réel x, on a f(x) \neq 0.
Aide
On suppose qu'il existe un nombre réel x_{0}
tel que f(x_{0}) = 0 et on calcule g(x_{0}).
Logique
On utilise un raisonnement par l'absurde. On
suppose la négation de la conclusion et en utilisant
les hypothèses, une égalité fausse apparaît.
La négation de la conclusion est donc fausse, la
conclusion est ainsi vraie.
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Bilan
Que peut-on dire d'une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} qui vérifie : f(0) = 1 et f' = f ?
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B
Démontrer qu'une fonction est unique
Objectif : Démontrer que la fonction f définie
dans l'activité précédente est unique.
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Comme dans l'activité précédente, on considère la fonction f
définie et dérivable sur \R qui vérifie f(0) = 1 et f'(x) = f(x) pour
tout x \in \mathbb{R}.
On suppose maintenant qu'il existe une deuxième fonction g qui
vérifie cette relation. g est donc une fonction définie et dérivable
sur \mathbb{R} telle que g(0) = 1 et g^{\prime}(x)=g(x) pour tout x \in \mathbb{R}.
On définit également la fonction h pour tout x \in \mathbb{R}. par h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}.
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1
Justifier que h est bien définie sur \mathbb{R.}
2
Justifier que h est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer sa fonction
dérivée.
3
En déduire l'expression de h(x) pour tout réel x.
Aide
Commencer par calculer l'expression de
h(x) pour une valeur particulière de x .
4
Que peut-on alors en déduire pour les fonctions f et g ?
Logique
Pour démontrer qu'une fonction f est
unique, on suppose qu'il existe une fonction g
qui vérifie les mêmes hypothèses que f et on
démontre que f(x) = g(x) pour tout réel x .
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Bilan
Donner une nouvelle propriété d'une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} et qui vérifie f(0) = 1 et f'= f .
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C
Du discret vers le continu
Objectif : Modéliser une situation à l'aide d'une fonction exponentielle pour passer du cas discret au cas continu.
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Lorsque l'on injecte une dose de médicament dans le sang d'un
patient, la quantité de médicament, exprimée en nombre de
molécules, diminue naturellement au cours du temps.
On injecte, au temps t = 0 , une dose \mathrm{D}_{0} de médicament.
On suppose que la quantité de médicament présente dans le sang
diminue de moitié chaque heure.
On note \mathrm{D}(t) la quantité de médicament présente au temps t, mesurée en heure. On a donc par exemple \mathrm{D}(1)=\dfrac{1}{2} \mathrm{D}_{0} et \mathrm{D}(2)=\dfrac{1}{4} \mathrm{D}_{0}.
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1
Dans un repère orthogonal, placer les points de coordonnées
(0 ; \mathrm{D}_{0}) , (1 ; \mathrm{D}(1)), (2 ; \mathrm{D}(2)),(3 ; \mathrm{D}(3)) et (4 ; \mathrm{D}(4)).
En ordonnée, on prendra 8 carreaux pour \mathrm{D}_{0} unités.
Aide
Utiliser le fait que la quantité de médicaments diminue de moitié en une heure.
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2
Montrer qu'il n'est pas correct d'affirmer que la quantité de
médicament diminue d'un quart toutes les 30 minutes.
Logique
Sans aucune autre information, un nuage de points est insuffisant pour définir une unique fonction.
3
Soient h un entier naturel et t un réel positif. a) Exprimer le rapport \dfrac{\mathrm{D}(t+h)}{\mathrm{D}(t)} en fonction de h.
b) Quel lien peut-on faire avec un taux d'évolution ? Ce taux
d'évolution est-il constant ?
Aide
Si, en une heure, la quantité de médicament diminue de moitié, de combien diminue-t-elle en h heures ?
4
À la calculatrice, estimer la valeur \mathrm{e}^{-0,69} à 10-2 près.
5
On considère la fonction g : x \mapsto \mathrm{D}_{0} \times \mathrm{e}^{-0,69 x}.
Tracer la courbe représentative de g à l'aide de la calculatrice ou
de GeoGebra en prenant \mathrm{D}_{0} = 8.
GeoGebra
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6
En utilisant les questions précédentes, montrer que g est une bonne approximation de la fonction \mathrm{D}.
7
On suppose maintenant que la quantité de médicament dans
le sang diminue de moitié la première heure, puis elle diminue
d'un tiers l'heure suivante, puis d'un quart l'heure d'après, etc. a) En prenant \mathrm{D}_{0} = 12 , réaliser le nuage de points représentant
cette situation jusqu'à \mathrm{D}_{4}.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
b) À l'aide de GeoGebra, peut-on trouver un réel positif k tel que la fonction x \mapsto \mathrm{D}_{0} \times \mathrm{e}^{-k x} soit une bonne approximation de la situation ?
GeoGebra
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Bilan
Que peut-on modéliser à l'aide d'une fonction exponentielle ?
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Histoire des maths
En 1731, Leonhard Euler
a démontré que le nombre
e est irrationnel. Il a
donné une approximation
de ce nombre avec 23
décimales.
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