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Cours 2

Étude de la fonction exponentielle

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A
Signe de la fonction exponentielle

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Propriété
Pour tout nombre réel x, \mathrm{e}^{x} > 0 .
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Démonstration
Pour tout nombre réel x, on a \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}}=\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}} \times \mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}}=\left(\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}}\right)^{2}. Dans \mathbb{R} , un carré est toujours positif ou nul. Or, la fonction exponentielle ne s'annule jamais sur \mathbb{R} , donc, pour tout nombre réel x, \left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\right)^{2}>0 d'où \mathrm{e}^{x}>0.
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Exemple
\mathrm{e}^{3}>0 et \mathrm{e^{-5}}>0
L'équation \mathrm{e}^{x} = -4 n'admet pas de solution car -4 est négatif alors que pour tout x, \mathrm{e}^{x} > 0 . Autrement dit, -4 n'admet pas d'antécédent par la fonction exponentielle.
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Application et méthode
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Énoncé
Donner le signe des expressions suivantes : \mathrm{e}^{-x} et \mathrm{-e}^{-3 x-1}.
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Méthode

On utilise le fait que la fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R}.

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Solution

Pour tout nombre réel x , la fonction exponentielle est strictement positive donc \mathrm{e}^{-x}>0.
De même, pour tout nombre réel x , \mathrm{e}^{-3 x-1}>0, donc -\mathrm{e}^{-3 x-1}\lt 0.

Pour s'entraîner
Exercices et
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B
Variations de la fonction exponentielle

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Propriété
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R} .

Variations de la fonction exponentielle
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Placeholder pour Variations de la fonction exponentielleVariations de la fonction exponentielle
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Démonstration
Pour tout nombre réel x , \exp ^{\prime}(x)=\exp (x)>0.

La fonction dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R} donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
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Propriété
Pour tous réels a et b fixés, la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \mathrm{e}^{ax+b} est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x , f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{a x+b}.
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Remarque

On calcule ici la dérivée de la composée de la fonction exponentielle avec une fonction affine.
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Démonstration
On applique directement la formule pour obtenir le résultat souhaité.
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Exemple
La fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x)=-3 \, e^{2 x-5}+1 est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, h^{\prime}(x)=2 \times\left(-3\, \mathrm{e}^{2 x-5}\right)=-6 \, \mathrm{e}^{2 x-5}. Pour tout réel x , \mathrm{e}^{2 x-5}>0 , donc on en déduit que h^{\prime}(x) \lt 0. Par conséquent, h est strictement décroissante sur \mathbb{R}.
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Application et méthode
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Énoncé
Étudier les variations des fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par : 1. f(x)=\mathrm{e}^{x}+x

2. g(x)=\mathrm{e}^{-2 x+6}
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Méthode

1. On calcule la fonction dérivée de f puis on étudie le signe de f'(x).

2. x \mapsto f(a x+b) a pour fonction dérivée x \mapsto a \times f^{\prime}(a x+b).

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Solution
1. f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x , f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}+1. Or, \mathrm{e}^{x}+1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{x} \geqslant-1, ce qui est vrai pour tout nombre réel x . L'équation f^{\prime}(x)=0 n'admet pas de solution. Donc f^{\prime}(x)>0 sur \mathbb{R} et f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

2. g est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, g^{\prime}(x)=-2 \times \mathrm{e}^{-2 x+6}. Or, pour tout réel x, \mathrm{e}^{-2 x+6}>0 donc g^{\prime}(x)\lt 0 sur \mathbb{R}. Par conséquent, g est strictement décroissante sur \mathbb{R}.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 171
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C
Résolution d'équations et d'inéquations

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Propriété
Pour tous nombres réels a et b :
  • \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a=b
  • \mathrm{e}^{a} \lt \mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a \lt b
  • \mathrm{e}^{a}>\mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a>b
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    Remarque

    Il est bon de connaître par cœur : \mathrm{e}^{x} \geqslant 1 \Leftrightarrow x \geqslant 0
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    Démonstration
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R} donc :
  • deux images égales ont nécessairement le même antécédent ;
  • deux nombres et leur image sont classés dans le même ordre.
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    Exemple
    \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{7} \Leftrightarrow x=7  et   \mathrm{e}^{x} \lt \mathrm{e}^{-2} \Leftrightarrow x \lt -2
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    Application et méthode
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    Énoncé
    Résoudre des équations et des inéquations

    Résoudre dans \mathbb{R} l'équation \mathrm{e}^{2 x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}} puis \mathrm{e}^{-3 x+4}+1 \geqslant 2.
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    Méthode

    On utilise les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour se ramener à des équations du type \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} ou \mathrm{e}^{a} \leqslant \mathrm{e}^{b}.
    On se sert ensuite des propriétés \mathrm{e}^a = \mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a = b et \mathrm{e}^a \leqslant \mathrm{e}^b \Leftrightarrow a \leqslant b .
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    Solution
  • \mathrm{e}^{2 x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}
    \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x}=\mathrm{e}^{-1}
    \Leftrightarrow 2 x=-1
    \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}

  • L'équation \mathrm{e}^{2 x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}} a pour unique solution -\dfrac{1}{2}.

  • \mathrm{e}^{-3 x+4}+1 \geqslant 2
    \Leftrightarrow \mathrm{e}^{-3 x+4} \geqslant 1
    \Leftrightarrow \mathrm{e}^{-3 x+4} \geqslant \mathrm{e}^{0}
    \Leftrightarrow-3 x+4 \geqslant 0
    \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac{4}{3}

  • L'ensemble des solutions de l'inéquation \mathrm{e}^{-3 x+4}+1 \geqslant 2 est l'intervalle ]-\infty\, ; \dfrac{4}{3} ].

    Pour s'entraîner
    Exercices à
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    Énoncé
    Utiliser les variations de la fonction exponentielle


    On considère la fonction f définie et dérivable sur [-2\, ; 2] par f(x)=\dfrac{-b}{8}\left(\exp \left(\dfrac{x}{b}\right)+\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)\right)b est un réel fixé strictement positif.
    Déterminer les variations de la fonction f sur son ensemble de définition.
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    Méthode

    1. Pour étudier cette fonction, on utilise les propriétés de la fonction exponentielle :

  • La fonction dérivée de x \mapsto \exp (a x+b) est x \mapsto a \exp (a x+b).

  • \begin{aligned} \exp (a)-\exp (b)=0 & \Leftrightarrow \exp (a)=\exp (b) \\ & \Leftrightarrow a=b \end{aligned}
  • car la fonction exponentielle est strictement monotone sur \mathbb{R} .

  • \begin{aligned} \exp (a)-\exp (b)>0 & \Leftrightarrow \exp (a)>\exp (b) \\ & \Leftrightarrow a>b \end{aligned}
    car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R} .

  • 2. Il faut également penser à simplifier au maximum l'expression de la dérivée pour permettre l'utilisation des propriétés de la fonction exponentielle.

    3. Le lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée doit évidemment être connu et utilisé.

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    Solution
    D'après l'énoncé, la fonction f est dérivable sur [-2\, ; 2].
    La dérivée de x \mapsto \dfrac{x}{b} est \dfrac{1}{b}, donc la dérivée de x \mapsto \exp \left(\dfrac{x}{b}\right) est \dfrac{1}{b} \times \exp \left(\dfrac{x}{b}\right).
    La dérivée de x \mapsto \dfrac{-x}{b} est \dfrac{-1}{b}, donc la dérivée de x \mapsto \exp \left(\dfrac{-x}{b}\right) est \dfrac{-1}{b} \times \exp \left(\dfrac{-x}{b}\right).

    Ainsi, pour tout x \in[-2\, ; 2], f^{\prime}(x)=\dfrac{-b}{8}\left(\dfrac{1}{b} \times \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\dfrac{1}{b} \times \exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)\right).
    En simplifiant par b , on obtient f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{8}\left(\exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)\right).

    Puisque \dfrac{-1}{8} \lt 0, le signe de f' est du signe contraire de \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right).

    D'une part, \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)=0
    \Leftrightarrow \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)=\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)
    \Leftrightarrow \dfrac{x}{b}=\dfrac{-x}{b} \Leftrightarrow x=0.

    D'autre part, \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)>0
    \Leftrightarrow \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)>\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)
    \Leftrightarrow \dfrac{x}{b}>\dfrac{-x}{b}
    \Leftrightarrow x>0.
    On en déduit alors que f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \text { et } f^{\prime}(x)>0 \Leftrightarrow x \lt 0.
    La fonction f est donc croissante sur [-2 ; 0] et décroissante sur [0 ;2].

    Pour s'entraîner
    Exercices et p. 175

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