Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois. Au lieu dʼécrire 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2, on peut écrire 2^6 et on lit « 2 puissance 6 ».

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Remarque 1

Quelle que soit la valeur de a, a^0=1.

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Propriété
Puissance opposée

Pour tout nombre a non nul et tout entier positif n, une puissance de a à lʼexposant négatif -n sʼécrit :

a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\underbrace{\frac{1}{a \times a \times \ldots \times a}}_{n \text { fois } a}

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Exemples

\frac{1}{5^4}=5^{-4} et 7^3=\frac{1}{7^{-3}}.

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Remarque 2

a^{-n} est l'inverse de a^n.

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Remarque 3

Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

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Exemple

2^3 \times 3^2=8 \times 9=72

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Propriété
Produit et division pour un même nombre

Si m et n sont des entiers et a un nombre non nul :
a^m \times a^n=a^{m+n} et \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

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Propriété
Produit et division pour un même exposant

Si n est un entier, a un réel et b un nombre non nul :
a^n \times b^n=(a \times b)^n et \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

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Point de cours 2
Notation scientifique

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Définition

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme :
a \times 10^n avec a un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10, et n un nombre relatif.

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Exemples

4,218 \times 10^3 est l'écriture scientifique de 4~218.
5,21 \times 10^{-8} est l'écriture scientifique de 0,0000000521.

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Point de cours 3
Ordres de grandeur

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Définition

L'écriture scientifique permet de classer les nombres a \times 10^n suivant leur ordre de grandeur et de les comparer. Un ordre de grandeur correspond à la puissance de 10 la plus proche de la valeur :

si a \leqslant 5,5, l'ordre de grandeur le plus proche est 10^n :
si a>5,5, l'ordre de grandeur le plus proche est 10^{n+1}.

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Exemples

3 \times 10^7 a un ordre de grandeur de 10^7. Il est plus grand que 6 \times 10^5 car son ordre de grandeur est 10^6.
3 \times 10^{24} est 1~000 fois plus grand que 3 \times 10^2.

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Questions

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Exercice 1

Écrivez le produit sous la forme de puissances.

a. 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3

b. 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7

c. (-14) \times(-14) \times(-14)

d. \pi \cdot \pi \cdot \pi \cdot \pi \cdot \pi

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Exercice 2

Ces égalités sont-elles vraies ? Justifiez.

a. 6^3=3^3 \times 2^3

b. 8^4=2 \times 4^4

c. 9^5=4^5+5^5

d. 10^8=\left((3+7)^2\right)^4

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Exercice 3

Lesquelles de ces expressions sont égales ?

a. 2^{100}

b. \frac{1}{4^{-20}} \times(-2)^{60}

c. 100^2

d. 5^4 \times 2^4

e. \left(2^{20}\right)^5

f. 200^2

g. 50^4

h. (-2)^{99} \times 2

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Exercice 6

Donnez le résultat des calculs suivants sous forme scientifique.

a. 3,1 \times 10^{10} \times 2,5 \times 10^{-2}

b. \frac{1,05 \times 10^4 \times 2}{7 \times 10^{-1}}

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Exercice 4

Effectuez les opérations suivantes sans calculatrice.

a. 1+3^2

b. 2 \times 5^3

c. (2 \times 5)^3

d. 2^{-1}+5^{-2}

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Exercice 5

Donnez le résultat des expressions suivantes sous la forme d'une puissance de 2.

a. 2^5 \times 2^8 \times 2^{-3}

b. \frac{2^4 \times 2^6}{2^{-4} \times 2}

c. \left(2^4\right)^4 \times\left(2^2\right)^{-3}

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Exercice 7

Dans le monde, on produit environ 15 200 kg de riz par seconde. 20 grains de riz pèsent un gramme.

Calculez la production mondiale de riz en un an. Donnez le résultat en kilogramme (kg) sous forme scientifique.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Exercice 8

Le Soleil a une masse estimée à 1,989 \times 10^{30} kg.
La Terre, elle, a une masse égale à 5,972 \times 10^{24} kg.

a. Déterminez le rapport de masse entre les deux astres.

b. En effectuant une recherche sur Internet, évaluez le rapport de masse entre la masse totale des planètes du Système solaire et celle du Soleil.

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Exercice 9

Proposez des ordres de grandeurs des quantités suivantes.

a. Masse de Mars

b. Vitesse de propagation la lumière.

c. Taille d'un atome.

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Exercice 10

Comparez les grandeurs suivantes (on pourra les exprimer en notation scientifique).

a. 7,7 \times 10^{11} b. 6,02 \times 10^{23}

c. 0,5 \times 10^{-1} d. 1,08 \times 10^{-12}

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Exercice 11

Comparez approximativement à l'aide des ordres de grandeur les quantités suivantes.

a. 3,1 \times 10^{14}

b. 171 \times 10^{10}

c. 0.99 \times 10^{-7}

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Exercice 12

Le parsec (pc) est une unité de mesure correspondant à la distance à partir de laquelle on verrait la distance Terre-Soleil (1 ua = 150 000 000 km), sous un angle d'une seconde d'arc. Cette définition a été modifiée en 2015 pour lever certaines ambiguïtés :

1 pc = \frac{648~000}{\pi} ua

Calculez sa valeur en kilomètre (km) et présentez le résultat en notation scientifique.

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Puissances, écriture scientifique et ordre de grandeur

Point de cours 1 Les puissances

DéfinitionPuissance

Remarque 1

PropriétéPuissance opposée

Exemples

Remarque 2

Remarque 3

Exemple

PropriétéProduit et division pour un même nombre

PropriétéProduit et division pour un même exposant

Point de cours 2 Notation scientifique

Définition

Exemples

Point de cours 3 Ordres de grandeur

Définition

Exemples

Questions

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

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Point de cours 1
Les puissances

Définition
Puissance

Propriété
Puissance opposée

Propriété
Produit et division pour un même nombre

Propriété
Produit et division pour un même exposant

Point de cours 2
Notation scientifique

Point de cours 3
Ordres de grandeur