Suites géométriques à termes strictement positifs, décroissance exponentielle

Soit n un entier naturel, a et k deux nombres réels strictement positifs. On appelle suite géométrique de raison a la suite de nombres définis pour tout n par u_n=k \cdot a^n.
Pour n=0, on a u_0=k, appelé terme initial de la suite.

Dans une culture en laboratoire, une population de bactéries augmente de 4 % par heure. Au départ, il y a u_{0}=5~000 bactéries. On désigne par n le nombre d'heures passées depuis le début de la mise en culture et par u_{n} le nombre de bactéries observées au bout de n heures.
Alors u_{n} est une suite géométrique de raison a=1,04 (augmentation de 4 %) et son expression en fonction de n est u_{n}=u_{0} \cdot a^{n}=5~000 \times 1,04^{n}.

• Si a \in] 0; 1[, alors la suite u_{n} est décroissante et tend vers 0.
• Si a>1, alors la suite u_{n} est croissante et tend vers +\infty. On dit que la suite u_{n} suit une croissance exponentielle.
• Si a=1, alors la suite est constante et égale à son terme initial u_{0}.

Après ingestion de 500 mg de paracétamol, celui-ci est décomposé dans l'organisme au cours du temps :

Dans un étang, au printemps, la population de larves d'insectes double tous les 5 jours pendant deux mois. Au début de la période, on dénombre 1 000 larves.

a. Estimez le nombre de larves au bout du premier mois (30 jours).

b. À quel moment pourra-t-on affirmer qu'il y a plus de 100 000 larves dans l'étang ?

La demi-vie d'un noyau radioactif d'iode 131 est estimée à 8,02 jours. C'est-à-dire qu'au bout de 8,02 jours, la moitié des noyaux d'iode 131 se sont désintégrés en noyau de xénon.

Déterminez la durée nécessaire pour qu'un échantillon pur de 1 000 000 de noyaux d'iode 131 n'en possède plus que 10 000. On pourra modéliser la situation à l'aide d'une suite géométrique.