Si un triangle \mathrm{ABC} est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse \mathrm{AB} est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés \mathrm{AC} et \mathrm{CB}

Réciproque du théorème de Pythagore

Dans un triangle \mathrm{ABC}, si l'égalité \mathrm{AB}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{CB}^2 est vérifiée, alors le triangle est rectangle en \mathrm{C}.

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Exemple

Le triangle \mathrm{SET} tel que \mathrm{ET}=13 cm, \mathrm{SE}=5 cm et \mathrm{ST}=12 cm est-il rectangle ?

On sait que [\mathrm{ET}] est le plus grand côté et que
\mathrm{ET}^{2}=13^{3}=169 :
\mathrm{SE}^{2}+\mathrm{ST}^{2}=5^{2}+12^{2}
\mathrm{SE}^{2}=25+144
\mathrm{SE}^{2}=169
On constate que \mathrm{ET}^{2}=\mathrm{SE}^{2}+\mathrm{ST}^{2}.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \mathrm{SET} est rectangle en \mathrm{S}.

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Questions

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Exercice 1

Le triangle \mathrm{STU} est rectangle en \mathrm{S} tel que \mathrm{ST}=8 cm et \mathrm{SU}=6 cm.

a. Calculez \mathrm{TU}^2, le carré de la longueur de l'hypoténuse. Déduisez-en la longueur de l'hypoténuse.

b. Construisez le triangle \mathrm{STU} et mesurez la longueur du côté \text { [TU]} à partir des longueurs \mathrm{ST} et \mathrm{SU} et de la mesure de \widehat{\mathrm{TSU}}.

c. Comparez la longueur mesurée avec la longueur obtenue par le calcul.

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Exercice 2

Le sol et le mur forment un angle droit. À quelle hauteur lʼéchelle touche-t-elle le mur ? Donnez une valeur arrondie au centimètre (cm).

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Exercice 3

Les triangles \mathrm{EFG} sont-ils rectangles ? Justifiez vos réponses.

a. \mathrm{EF}=7 cm, \mathrm{EG}=2,4 cm et \mathrm{FG}=7,4 cm.

b. \mathrm{EF}=27 cm, \mathrm{EG}=120 cm et \mathrm{FG}=123 cm.

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Exercice 4

L'écartement au sol d'une échelle escabeau est de 1,20 m.

Déterminez la longueur entre les deux jambes de l'échelle pour que son sommet soit à 1,70 m de hauteur. Arrondissez au centimètre (cm) près.

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