On suppose que, pour tout x \in \mathrm{I}, f(x) \geqslant g(x) et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=+\infty.
Soit \text{M} un réel.
Comme \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=+\infty par définition, il existe m \in \mathrm{I} tel que, pour tout x \in \mathrm{I}, si
x > m, alors g(x)>\mathrm{M}.
Or, on a f(x) \geqslant g(x)pour tout x \in \mathrm{I}.
Donc, pour tout x \in \mathrm{I}, si x > m, alors f(x) \geqslant g(x)>\mathrm{M} et donc f(x)>\mathrm{M}.
Ainsi, pour tout réel \text{M}, il existe m \in \mathrm{I} tel que, pour tout x \in \mathrm{I}, si x > m, alors f(x)>\mathrm{M}.
D'où \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=+\infty.
On procède de même pour démontrer le deuxième point.