Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
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Grand Oral
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Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5

Limites de fonctions

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Capacités attendues
1. Déterminer la limite d'une fonction en un réel a, en +\infty ou en -\infty à l'aide des théorèmes d'opérations sur les limites.
2. Déterminer la limite d'une fonction en utilisant les limites usuelles des fonctions de référence.
3. Déterminer une limite par comparaison.
4. Donner une équation des éventuelles asymptotes parallèles à un axe de coordonnées à la courbe représentative d'une fonction.
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L'escalier de la photo semble s'enrouler sur lui-même sans s'arrêter, à l'infini. On ne voit pas le bout. Déterminer la limite d'une fonction nous permet de savoir ce que deviennent les valeurs de cette fonction au-delà de ce qui est visible sur un graphique. Cela peut permettre de « prévoir » l'évolution d'un phénomène comme la propagation d'un virus.
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Avant de commencer

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Prérequis
1. Factoriser, développer une expression algébrique, factoriser un trinôme.
2. Savoir dériver une fonction dérivable et savoir donner son sens de variation.
3. Connaître les caractéristiques (ensemble de définition, dérivabilité, variations et courbe représentative) des fonctions de référence (fonctions polynômes, racine carrée, inverse, valeur absolue, exponentielle et trigonométriques).
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Anecdote

Asymptote est un mot d'origine grecque composé du préfixe privatif « a » et de « symptôton » qui signifie « qui se rencontre ». Il est appliqué, à l'origine, à des droites parallèles ou non parallèles mais dans le même plan, ou encore aux asymptotes de l'hyperbole, qui s'en rapproche indéfiniment sans jamais les rencontrer.
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1
Factoriser des trinômes

Factoriser si possible les trinômes suivants dans \R. 1. f(x)=x^{2}-3 x+2

2. g(x)=3 x^{2}+5 x-2

3. h(x)=4 x^{2}-20 x+25

4. k(x)=-x^{2}+x-5

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2
Factoriser par un terme

1. Factoriser par x l'expression :
\text{A}(x)=x-3.

2. Factoriser par x^2 l'expression :
\text{B}(x)=x^{2}-3 x+5.

3. Factoriser par x l'expression :
\text{C}(x)=2 x+\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}.

4. Factoriser par \sqrt{x} l'expression :
\text{D}(x)=\sqrt{x}-1.
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3
Dériver des fonctions

Soit f une fonction définie sur un ensemble \text{I.} Donner, dans chaque cas, son domaine de dérivabilité et sa dérivée f'. 1. f: x \mapsto x^{3}-2 x^{2}+x \:; I=\mathbb{R}

2. f: x \mapsto x^{2}+\sqrt{x}\:; \mathrm{I}=[0 \:;+\infty[

3. f: x \mapsto \dfrac{x^{2}-x}{x^{4}+1} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}

4. f: x \mapsto \dfrac{\sqrt{x}+x}{x-1}\:; \mathrm{I}=[0\:; 1[\cup] 1\:;+\infty[

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4
Étudier la dérivabilité d'une fonction

Soit f la fonction définie sur [0\:;+\infty[ par :
f(x)=x \sqrt{x}.
1. Déterminer la dérivée de f sur ] 0\:;+\infty[.
2. a. Donner le taux d'accroissement de f entre 0 et 0 + h,h > 0.

b. Démontrer alors que f est dérivable en 0 et donner f'(0).

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5
Fonction exponentielle

1. Déterminer la dérivée de la fonction f définie et dérivable sur \R par f(x)=x \mathrm{e}^{x}-1.

2. Soit x \in \mathbb{R}. Simplifier les expressions suivantes.
a. \mathrm{e}^{2 x+1} \times \mathrm{e}^{-3 x}

b. \mathrm{e}^{2 x}\left(\mathrm{e}^{-4 x}+5 \mathrm{e}^{-x}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)

3. Soit x \in \mathbb{R}. Factoriser par \mathrm{e}^{2 x} les expressions suivantes.
a. \mathrm{A}(x)=\mathrm{e}^{2 x}+3 \mathrm{e}^{x}-1

b. \mathrm{B}(x)=\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-2 x}
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6
Fonctions trigonométriques

1. Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x \sin (x)-1. Montrer que, pour tout x \geqslant 0 :
-x-1 \leqslant f(x) \leqslant x-1.

2. Soit g la fonction définie sur \R par :
g(x)=\dfrac{x \cos (x)+2}{x^{2}+1} .

Montrer que, pour tout x \geqslant 0:
\dfrac{-x+2}{x^{2}+1} \leqslant g(x) \leqslant \dfrac{x+2}{x^{2}+1}.
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7
Problème

Soit f la fonction définie par f(x)=\dfrac{-x^{2}-x+1}{x^{3}}. 1. Donner l'ensemble de définition \mathcal{D}_{f} de f.

2. Justifier que la fonction f est dérivable sur \mathcal{D}_{f} et montrer que, pour tout x \in \mathcal{D}_{f} :
f^{\prime}(x)=\dfrac{(x-1)(x+3)}{x^{4}}.

3. Dresser le tableau de variations de f sur \mathcal{D}_{f}.

4. Représenter graphiquement la fonction f à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra et vérifier les résultats obtenus précédemment.
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