Limites de fonctions

1. Déterminer la limite d'une fonction en un réel a, en +\infty ou en -\infty à l'aide des théorèmes d'opérations sur les limites.
2. Déterminer la limite d'une fonction en utilisant les limites usuelles des fonctions de référence.
3. Déterminer une limite par comparaison.
4. Donner une équation des éventuelles asymptotes parallèles à un axe de coordonnées à la courbe représentative d'une fonction.

1. Factoriser, développer une expression algébrique, factoriser un trinôme.
2. Savoir dériver une fonction dérivable et savoir donner son sens de variation.
3. Connaître les caractéristiques (ensemble de définition, dérivabilité, variations et courbe représentative) des fonctions de référence (fonctions polynômes, racine carrée, inverse, valeur absolue, exponentielle et trigonométriques).

Asymptote est un mot d'origine grecque composé du préfixe privatif « a » et de « symptôton » qui signifie « qui se rencontre ». Il est appliqué, à l'origine, à des droites parallèles ou non parallèles mais dans le même plan, ou encore aux asymptotes de l'hyperbole, qui s'en rapproche indéfiniment sans jamais les rencontrer.

1

Factoriser des trinômes

Factoriser si possible les trinômes suivants dans \R. 1. f(x)=x^{2}-3 x+2

2. g(x)=3 x^{2}+5 x-2

3. h(x)=4 x^{2}-20 x+25

4. k(x)=-x^{2}+x-5

2

Factoriser par un terme

1. Factoriser par x l'expression :

\text{A}(x)=x-3.

2. Factoriser par x^2 l'expression :

\text{B}(x)=x^{2}-3 x+5.

3. Factoriser par x l'expression :

\text{C}(x)=2 x+\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}.

4. Factoriser par \sqrt{x} l'expression :

\text{D}(x)=\sqrt{x}-1.

3

Dériver des fonctions

Soit f une fonction définie sur un ensemble \text{I.} Donner, dans chaque cas, son domaine de dérivabilité et sa dérivée f'. 1. f: x \mapsto x^{3}-2 x^{2}+x \:; I=\mathbb{R}

2. f: x \mapsto x^{2}+\sqrt{x}\:; \mathrm{I}=[0 \:;+\infty[

3. f: x \mapsto \dfrac{x^{2}-x}{x^{4}+1} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}

4. f: x \mapsto \dfrac{\sqrt{x}+x}{x-1}\:; \mathrm{I}=[0\:; 1[\cup] 1\:;+\infty[

4

Étudier la dérivabilité d'une fonction

Soit f la fonction définie sur [0\:;+\infty[ par :

f(x)=x \sqrt{x}.

1. Déterminer la dérivée de f sur ] 0\:;+\infty[.

2. a. Donner le taux d'accroissement de f entre 0 et 0 + h, où h > 0.

b. Démontrer alors que f est dérivable en 0 et donner f'(0).

5

Fonction exponentielle

1. Déterminer la dérivée de la fonction f définie et dérivable sur \R par f(x)=x \mathrm{e}^{x}-1.

2. Soit x \in \mathbb{R}. Simplifier les expressions suivantes.
a. \mathrm{e}^{2 x+1} \times \mathrm{e}^{-3 x}

b. \mathrm{e}^{2 x}\left(\mathrm{e}^{-4 x}+5 \mathrm{e}^{-x}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)

3. Soit x \in \mathbb{R}. Factoriser par \mathrm{e}^{2 x} les expressions suivantes.
a. \mathrm{A}(x)=\mathrm{e}^{2 x}+3 \mathrm{e}^{x}-1

b. \mathrm{B}(x)=\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-2 x}

6

Fonctions trigonométriques

1. Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x \sin (x)-1. Montrer que, pour tout x \geqslant 0 :

-x-1 \leqslant f(x) \leqslant x-1.

2. Soit g la fonction définie sur \R par :

g(x)=\dfrac{x \cos (x)+2}{x^{2}+1} .

Montrer que, pour tout x \geqslant 0:

\dfrac{-x+2}{x^{2}+1} \leqslant g(x) \leqslant \dfrac{x+2}{x^{2}+1}.