\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x^2=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\sqrt{x}=+\infty donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(x^2\sqrt{x}\right)=+\infty.

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x^2=+\infty.

Pour tout x \neq 0, \frac{x^{2}}{x}=x donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x=+\infty.

En revanche, pour tout x \neq 0, \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x} donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x}{x^2}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{1}{x}=0.

Donc, lorsque deux fonctions ont pour limite +\infty, il n'est pas possible de déterminer la limite de leur quotient sans une étude plus approfondie. Pour les polynômes, la mise en facteur du monôme de plus haut degré permettra de lever l'indétermination. Cette méthode permet de démontrer les deux propriétés suivantes.

D'autres méthodes pour lever une indétermination seront développées dans les exercices.

Soit \text{P} une fonction polynôme définie pour tout x réel par \mathrm{P}(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0} où a_{n} \neq 0 et n \geqslant 1.
Pour tout x \neq 0, on a \mathrm{P}(x)=x^{n}\left(a_{n}+a_{n-1} \frac{1}{x}+\ldots+a_{1} \frac{1}{x^{n-1}}+a_{0} \frac{1}{x^{n}}\right).
On sait que, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{1}{x^{n}}=0.
Donc, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(a_{n}+a_{n-1} \frac{1}{x}+\ldots+a_{1} \frac{1}{x^{n-1}}+a_{0} \frac{1}{x^{n}}\right)=a_{n}.
Donc, par produit, \text{P} a la même limite en +\infty que x \mapsto a_{n} x^{n}.
On procède de même pour la limite en -\infty.

Soient \text{P} une fonction polynôme dont a_{p} x^{p} est le monôme de plus haut degré, et \text{Q} une fonction polynôme dont le monôme de plus haut degré est a_{q} x^{q}, où p et q sont des entiers naturels.
Alors \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\text{P}(x)}{\text{Q}(x)} =\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(\frac{a_{p}}{a_{q}} \times x^{p-q}\right) et \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\frac{\text{P}(x)}{\text{Q}(x)}=\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\left(\frac{a_{p}}{a_{q}} \times x^{p-q}\right).

Une fonction écrite sous la forme d'un quotient de polynômes est une fonction rationnelle.

1. \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{3 x^{4}-2 x+1}{2 x-1}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{3 x^{4}}{2 x}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{3}{2} x^{3}=+\infty

2.\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\frac{x^{4}-2 x+1}{x-1}=\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\frac{x^{4}}{x}=\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}} x^{3}=-\infty

3. Cas d'une fonction non rationnelle :
\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} \sqrt{x}=+\infty

Pour l'exemple 3., on factorise par \sqrt{x} puis on utilise la propriété suivante : « Pour tout x \geqslant 0, x=\sqrt{x} \times \sqrt{x}. »

1. f est définie sur ] 0\:;+\infty[ par f(x)=\frac{x+2}{x^{2}+x \sqrt{x}}. Déterminer la limite de f en +\infty.
2. g est définie sur \R par g(x)=\frac{x^{3}-x^{2}+4}{x^{2}+1}. Déterminer la limite de g en -\infty.
3. h est définie sur \mathbb{R} \backslash\{1\} par h(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x-1}. Déterminer la limite de h en 1.

1. • On obtient une forme de type « \frac{\infty}{\infty} » : on ne peut donc pas conclure immédiatement.
• On met en facteur le terme dominant du numérateur et du dénominateur.
• On simplifie l'expression au maximum.
• On applique les propriétés résumées dans les tableaux.
2. • On reconnaît une fonction rationnelle.
• On utilise la propriété du cours permettant de trouver sa limite en -\infty.
3. • On obtient une forme de type « \frac{0}{0} » : on ne peut donc pas conclure immédiatement.
• h est une fonction rationnelle mais on cherche sa limite en 1. On ne peut donc pas utiliser la propriété utilisée en 2..
• On factorise à l'aide d'une identité remarquable et on conclut.