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Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
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Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
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Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
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Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
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Probabilités
Ch. 12
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Ch. 13
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Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
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Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Entraînement 2
Limites de fonctions : définitions et premières propriétés
11 professeurs ont participé à cette page
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37
Flash
À partir de la définition de \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, donner une définition de \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = -\infty et de \lim\limits_{\substack{ x \to -\infty }} f(x) = +\infty
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Louis-Augustin Cauchy
(1789-1857) a donné au début de son Cours d'analyse (1821) la définition suivante de la notion de limite : « Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. »
Il a fallu attendre Karl Weierstrass (1815-1897), considéré comme le père de l'analyse moderne, pour avoir donné, dans les années 1860, une définition purement logique de cette notion avec notamment l'utilisation de \delta et \epsilon.
Il a fallu attendre Karl Weierstrass (1815-1897), considéré comme le père de l'analyse moderne, pour avoir donné, dans les années 1860, une définition purement logique de cette notion avec notamment l'utilisation de \delta et \epsilon.
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38
Flash
Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = x^2 - 2x.
1. Existe-t-il une valeur m telle que, si x > m, alors f(x)>10^4 ?
2. Existe-t-il une valeur m telle que, si x > m, alors f(x)>10^{32} ?
3. Conjecturer la limite de f quand x tend vers +\infty.
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39
Flash
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)= \dfrac{1}{x^2 + 1} .
1. Existe-t-il une valeur m telle que, si x > m, alors 0 \lt f(x) \lt 10^{-4} ?
2. Existe-t-il une valeur m telle que, si x > m, alors 0 \lt f(x) \lt 10^{-32} ?
3. Conjecturer la limite de f quand x tend vers +\infty.
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40
[Communiquer.]
On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f définie sur \mathcal{D}_f.
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1. Déterminer graphiquement \mathcal{D}_f.
2. Conjecturer le tableau de variations de f sur \mathcal{D}_f ainsi que les limites éventuelles de f aux bornes de \mathcal{D}_f.
3. Déterminer une équation de chacune des éventuelles asymptotes.
2. Conjecturer le tableau de variations de f sur \mathcal{D}_f ainsi que les limites éventuelles de f aux bornes de \mathcal{D}_f.
3. Déterminer une équation de chacune des éventuelles asymptotes.
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41
[Communiquer.]
On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f définie sur \R.
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Conjecturer le tableau de variations de f sur \R, les limites éventuelles de f en -\infty et +\infty ainsi qu'une équation de chacune des éventuelles asymptotes.
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42
[Représenter.]
Soit f une fonction définie et dérivable sur \R \setminus \{-1 ; 2\} dont on donne le tableau de variations ci-dessous.
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1. Déterminer les limites (ou limite à droite et à gauche) de f en -\infty, +\infty, -1 \;\text{et} \;2.
2. Donner une équation de chaque asymptote.
3. Tracer une représentation graphique possible de la fonction f.
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43
[Représenter.]
Soit f une fonction définie et dérivable sur \R dont on donne le tableau de variations ci-dessous.
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1. Déterminer les limites de f en -\infty et en +\infty, puis donner les équations des éventuelles asymptotes.
2. Tracer une représentation graphique possible de la fonction f .
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44
GeoGebra
[Représenter.]
Soit f la fonction définie sur \R \setminus \{2\} par f(x) = \dfrac{3x^3 - x + 1}{x^3 - 8}.
1. Représenter graphiquement cette fonction en utilisant GeoGebra ou la calculatrice.
1. Représenter graphiquement cette fonction en utilisant GeoGebra ou la calculatrice.
GeoGebra
2. Quelles limites peut-on conjecturer ?
3. Donner les équations des éventuelles asymptotes.
3. Donner les équations des éventuelles asymptotes.
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GeoGebra
[Représenter.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = x (\sin(x) + 2).
1. Représenter graphiquement cette fonction en utilisant GeoGebra ou la calculatrice.
GeoGebra
2. La fonction f semble-t-elle avoir des limites en +\infty et -\infty ?
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46
Démo
[Raisonner.]
On souhaite démontrer que la fonction f définie sur \R par f(x) = x^2 a pour limite +\infty en +\infty.
1. Déterminer une valeur m telle que, si x > m, alors f(x) > 10^4.
2. Soit A > 0. Démontrer qu'il existe une valeur m telle que, si x > m, alors f(x) > A.
3. Conclure.
2. Soit A > 0. Démontrer qu'il existe une valeur m telle que, si x > m, alors f(x) > A.
3. Conclure.
4. Généralisation : soit g la fonction définie sur \R par g(x) = x^n, où n est un entier naturel non nul.
a. En utilisant un raisonnement analogue que pour x^2, démontrer que g a pour limite +\infty lorsque x \rightarrow +\infty.
b. Selon la parité de n, exprimer g(-x) en fonction de g(x).
c. En déduire alors la limite de g en -\infty en fonction de la parité de n et en utilisant les limites en +\infty.
a. En utilisant un raisonnement analogue que pour x^2, démontrer que g a pour limite +\infty lorsque x \rightarrow +\infty.
b. Selon la parité de n, exprimer g(-x) en fonction de g(x).
c. En déduire alors la limite de g en -\infty en fonction de la parité de n et en utilisant les limites en +\infty.
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[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = 2x^2 - 3x.
1. Déterminer une valeur m telle que, si x > m, alors f(x) > 10^4.
2. Soit \text{A} > 0. Démontrer qu'il existe une valeur m telle que, si x > m, alors f(x) > \text{A}.
3. Conclure.
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48
Démo
[Raisonnner.]
1. Soient f la fonction racine carrée et \text{A} un nombre réel positif.
a. Justifier que, si x > \text{A}^2, alors f(x) > \text{A}.
b. Que peut-on en conclure sur la limite de f en +\infty ?
2. Soit g la fonction définie, pour tout réel x strictement positif, par g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} .
a. Déterminer une valeur m telle que, si x > m, alors 0 \lt g(x) \lt 10^{-4}.
b. Soit \epsilon > 0. Démontrer qu'il existe une valeur m telle que, si x > m, alors 0 < g(x) < \epsilon.
c. Conclure.
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