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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Synthèse
Exercices de synthèse
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Pour chaque fonction, déterminer :
1. l'ensemble de définition ;
2. les limites de la fonction aux bornes de l'ensemble de définition ;
3. une équation de chaque asymptote éventuelle ;
4. le tableau de variations.
1. l'ensemble de définition ;
2. les limites de la fonction aux bornes de l'ensemble de définition ;
3. une équation de chaque asymptote éventuelle ;
4. le tableau de variations.
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87
[Calculer, Représenter.]
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{2 x+1}
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88
[Calculer, Représenter.]
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2 x-3}
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89
[Calculer, Représenter.]
f(x)=\mathrm{e}^x-\frac{1}{x}
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90
[Calculer, Raisonner.]
1. Soit f la fonction définie sur l'ensemble de définition \mathcal{D}_{f} par f(x)=\frac{2 x-1}{x+5}.
a. Donner l'ensemble de définition \mathcal{D}_{f} de f.
b. Déterminer les limites de f aux bornes de \mathcal{D}_{f}.
c. Interpréter graphiquement ces résultats.
a. Donner l'ensemble de définition \mathcal{D}_{f} de f.
b. Déterminer les limites de f aux bornes de \mathcal{D}_{f}.
c. Interpréter graphiquement ces résultats.
2. Soit g la fonction définie par g(x)=\frac{-3 x+7}{2 x+1}.
a. Donner l'ensemble de définition \mathcal{D}_{g} de g.
b. Déterminer les limites de g aux bornes de \mathcal{D}_{g}.
c. Interpréter graphiquement ces résultats.
a. Donner l'ensemble de définition \mathcal{D}_{g} de g.
b. Déterminer les limites de g aux bornes de \mathcal{D}_{g}.
c. Interpréter graphiquement ces résultats.
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91
Devoir maison
Démo
[Raisonner, Chercher.]
On considère la fonction f définie sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{x}-x.
1. Dresser le tableau de variations de f sur \R.
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2. En déduire que, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)>0.
3. En déduire que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\mathrm{e}^{x}=+\infty.
4. En posant \text{X}=-x, démontrer que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\mathrm{e}^{x}=0.
3. En déduire que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\mathrm{e}^{x}=+\infty.
4. En posant \text{X}=-x, démontrer que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\mathrm{e}^{x}=0.
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92
Démo
[Raisonner, Chercher.]
L'objectif de l'exercice est de démontrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty.
Le cas n = 0 a été traité dans l'exercice
91
.
Partie A : cas n = 1
On considère la fonction f définie sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{x}-\frac{x^{2}}{2}.1. Déterminer la dérivée f' de f sur \R.
2. En utilisant le fait que, pour tout x \in \mathbb{R}, \mathrm{e}^{x}-x>0 (voir exercice
91
), dresser le tableau de variations de f sur \R.Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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3. En déduire que, pour tout x>0, \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}>\frac{x}{2}.
4. En déduire que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty.
\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\dfrac{x}{n}}}{\dfrac{x}{n}}\right)^{n} \times\left(\frac{1}{n}\right)^{n}.
2. On pose \mathrm{X}=\frac{x}{n}.
On a alors \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{X}}}{\mathrm{X}}\right)^{n} \times\left(\frac{1}{n}\right)^{n}.
On admet le théorème suivant.
« Soient f et g deux fonctions. a, b et c sont des nombres réels ou +\infty ou -\infty.
Si \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=b et \lim\limits_{\substack{x \to b}}g(x)=c , alors \lim\limits_{\substack{x \to a}}g(f(x))=c. »
À l'aide de ce théorème et du changement de variable proposé ci-dessus, démontrer que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty.
4. En déduire que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty.
Partie B : cas n > 1
1. Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^{*} et pour tout x > 0 :\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\dfrac{x}{n}}}{\dfrac{x}{n}}\right)^{n} \times\left(\frac{1}{n}\right)^{n}.
2. On pose \mathrm{X}=\frac{x}{n}.
On a alors \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{X}}}{\mathrm{X}}\right)^{n} \times\left(\frac{1}{n}\right)^{n}.
On admet le théorème suivant.
« Soient f et g deux fonctions. a, b et c sont des nombres réels ou +\infty ou -\infty.
Si \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=b et \lim\limits_{\substack{x \to b}}g(x)=c , alors \lim\limits_{\substack{x \to a}}g(f(x))=c. »
À l'aide de ce théorème et du changement de variable proposé ci-dessus, démontrer que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty.
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93
Démo
[Raisonner, Chercher.]
L'objectif de cet exercice est de démontrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}x^{n} \mathrm{e}^{x}=0. On pose \mathrm{X}=-x. 1. Démontrer que calculer \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}x^{n} \mathrm{e}^{x} revient à calculer \lim\limits_{\substack{\mathrm{X} \to +\infty}}\frac{(-\text{X})^{n}}{\mathrm{e}^{\text{X}}}.
2. a. Quelle est la limite de \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{X}}}{\text{X}^{n}} lorsque \text{X} tend vers +\infty ?
b. En déduire \lim\limits_{\substack{\text{X} \to +\infty}}\frac{(-\text{X})^{n}}{\mathrm{e}^{\text{X}}}.
c. En utilisant le fait que (-\mathrm{X})^{n}=(-1)^{n} \times \mathrm{X}^{n}, en déduire \lim\limits_{\substack{\mathrm{X} \to +\infty}}\frac{(-\mathrm{X})^{n}}{\mathrm{e}^{\mathrm{X}}}.
3. Conclure.
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94
[Communiquer, Raisonner.]
Il existe des symboles (quantificateurs) pour traduire certaines expressions mathématiques très courantes : « Pour tout x » ou « Quelque soit x » se note \forall x.
« Il existe x » peut se noter \exists x.
Ainsi, la formulation d'une limite infinie en l'infini peut se traduire par : « \forall \mathrm{A} \in \mathbb{R}, \exists m \in \mathbb{R}, x>m \Rightarrow f(x)>\mathrm{A}. » 1. Traduire de la même manière \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=-\infty.
2. Traduire de la même manière, en relisant la définition du cours, que la limite d'une fonction f en +\infty est 3.
3. Traduire maintenant ces quelques phrases à l'aide de quantificateurs.
a. f est majorée sur \R.
b. Le carré de tout réel est positif.
c. f n'est pas minorée sur \R.
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95
[Chercher, Communiquer.]
Limite de la composée de deux fonctions
Partie A
Soit h la fonction définie sur \R par h(x)=\mathrm{e}^{2 x+1}.1. En remarquant que, pour tout réel x, \mathrm{e}^{2 x+1}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} \times \mathrm{e}, déterminer la limite de f en +\infty.
2. Pour tout x \in \mathbb{R}, on pose f(x)=2 x+1. On a alors h(x)=\exp (f(x)).
a. Déterminer la limite de f en +\infty.
b. Donner la limite de la fonction exponentielle en +\infty.
c. Retrouver le résultat de la question 1. à l'aide des deux questions précédentes.
Partie B
Soit h la fonction définie sur \R par h(x)=\mathrm{e}^{-x}.1. En remarquant que, pour tout réel x, \mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}, déterminer la limite de h en +\infty.
2. Pour tout x \in \mathbb{R}, on pose g(x)=-x. On a alors h(x)=\exp (g(x)).
a. Déterminer la limite b de g en +\infty (b peut être un réel ou +\infty ou -\infty).
b. Donner la limite de la fonction exponentielle en b.
c. Retrouver le résultat de la question 1. à l'aide des deux questions précédentes.
Remarque
On peut généraliser ce qui précède à l'aide du théorème suivant.Soient f et g deux fonctions. a, b et c sont des nombres réels ou +\infty ou -\infty.
Si \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=b et \lim\limits_{\substack{x \to b}}g(x)=c, alors \lim\limits_{\substack{x \to a}}g(f(x))=c.
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96
[Représenter, Communiquer.]
Soit f la fonction définie pour tout x \in \mathbb{R}^{*} par f(x)=\frac{\left(40+x^{15}\right)^{2}-1600}{x^{15}}.
1. Déterminer la limite de f en +\infty et -\infty.
2. On cherche à déterminer sa limite en 0.
a. Avec la calculatrice donner une valeur approchée de f(0{,}5), f(0{,}2), f(0{,}1), f(0{,}01).
b. Que peut-on conjecturer pour la limite de f en 0 ?
2. On cherche à déterminer sa limite en 0.
a. Avec la calculatrice donner une valeur approchée de f(0{,}5), f(0{,}2), f(0{,}1), f(0{,}01).
b. Que peut-on conjecturer pour la limite de f en 0 ?
c. Développer le numérateur de f et simplifier l'écriture de f.
d. Déterminer la limite de f en 0. La conjecture est-elle vérifiée ?
d. Déterminer la limite de f en 0. La conjecture est-elle vérifiée ?
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97
[Chercher, Raisonner.]
Démontrer l'équivalence suivante : \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=\ell \Leftrightarrow\lim\limits_{\substack{x \to a}}(f(x)-\ell)=0
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98
En physique
[Calculer, Communiquer.]
Grégoire prend son vélo et effectue une distance d à une vitesse v_{1}=25 \:\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}. Pour le retour, il prend un autre moyen de transport et parcourt la même distance d à une vitesse v_{2}=x\: \mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}. On note v(x) la vitesse moyenne de Grégoire sur les deux trajets. On définit ainsi une fonction v.
1. Quel est l'ensemble de définition \mathcal{D}_{v} de v ?
2. Démontrer que, pour tout x \in \mathcal{D}_{v}, v(x)=\frac{50 x}{x+25}.
3. Étudier les variations de v sur \mathcal{D}_{v}.
2. Démontrer que, pour tout x \in \mathcal{D}_{v}, v(x)=\frac{50 x}{x+25}.
3. Étudier les variations de v sur \mathcal{D}_{v}.
4. a. Déterminer les limites de v aux bornes de l'ensemble de définition de v.
b. Interpréter ces résultats. Est-ce paradoxal ?
b. Interpréter ces résultats. Est-ce paradoxal ?
Remarque
Soit \text { Soit } n \in \mathbb{N}^{*}). On appelle moyenne harmonique de nombres réels strictement positifs a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} le nombre \text{H} défini par \mathrm{H}=\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}}.C'est l'inverse de la moyenne arithmétique de l'inverse des nombres a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}.
On utilise également la moyenne harmonique pour, par exemple, calculer la résistance moyenne de deux résistances montées en parallèle dans un circuit électrique.
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99
En biologie
[Modéliser, Communiquer.]
D'après bac S, Asie, juin 2017
Un protocole de traitement d'une maladie, chez l'enfant, comporte une perfusion longue durée d'un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps, exprimée en micromole par litre, est modélisée par la fonction \text{C} définie sur l'intervalle [0\:;+\infty[ par :
\mathrm{C}(t)=\frac{d}{a}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{a}{80} t}\right), où t désigne le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure, d le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure, et a un paramètre réel strictement positif, appelé « clairance », exprimé en litre.
Le paramètre a est spécifique à chaque patient. En médecine, on appelle « plateau » la limite en +\infty de la fonction \text{C}. On étudie un cas particulier où la fonction \text{C} est définie sur [0 ;+\infty[ par :
\mathrm{C}(t)=12\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{7}{80} t}\right). 1. Étudier le sens de variation de la fonction \text{C} sur [0\:;+\infty[.
2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à 15. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
Aide
On pourra utiliser le théorème de l'exercice .
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100
[Calculer, Raisonner.]
On considère une fonction f définie sur l'ensemble \left.\mathcal{D}_{f}=\right]-\infty\:;-5[\cup]-5\:;+\infty[.
Partie A : Étude graphique
On donne la représentation graphique C_{f} de la fonction f dans le repère ci-dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. À l'aide de la représentation graphique, conjecturer les limites de la fonction en f en -\infty, en +\infty et en -5.
2. Interpréter graphiquement les limites de f en -\infty et en -5.
Partie B : Étude algébrique
On admet dans la suite que la fonction f est définie pour tout réel x différent de -5 par :f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2 x-1}-2 \cos (x)}{x+5}+2
1. a. Justifier que pour tout réel x strictement supérieur à -5: \frac{\mathrm{e}^{2 x-1}-2}{x+5} \leqslant f(x).
b. En déduire la limite de la fonction f en +\infty.
Aide
On pensera à utiliser les croissances comparées.
2. a. Montrer que, pour tout réel x strictement inférieur à -5 :
\frac{\mathrm{e}^{2 x-1}+2}{x+5}+2 \leqslant f(x) \leqslant \frac{\mathrm{e}^{2 x-1}-2}{x+5}+2.
b. En déduire la limite de la fonction f en -\infty. Le résultat est-il cohérent avec les considérations graphiques de la partie A ?
3. Déterminer les limites de la fonction f en -5.
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101
Approfondissement
Asymptote oblique
Soit f la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{3}\right\} telle que, pour tout réel x, f(x)=\frac{3 x^{2}+2 x+2}{3 x-1}. On note \mathcal{C}_{f} la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
1. a. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b. Que peut-on en déduire pour \mathcal{C}_{f} ?
2. Étudier les variations de f sur \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{3}\right\}.
3. À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer la représentation graphique \mathcal{C}_{f} de f.
b. Que peut-on en déduire pour \mathcal{C}_{f} ?
2. Étudier les variations de f sur \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{3}\right\}.
3. À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer la représentation graphique \mathcal{C}_{f} de f.
4. Sur le même graphique, tracer la droite d d'équation y = x + 1.
5. Observer ce qui se passe pour les deux courbes \mathcal{C}_{f} et d lorsque x tend vers +\infty, puis lorsque x tend vers -\infty.
6. Montrer que, pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{3}\right\}, f(x)-(x+1)=\frac{3}{3 x-1}.
7. En déduire que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left[ f(x)-(x+1)\right]=0 et que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\left[ f(x)-(x+1)\right]=0.
5. Observer ce qui se passe pour les deux courbes \mathcal{C}_{f} et d lorsque x tend vers +\infty, puis lorsque x tend vers -\infty.
6. Montrer que, pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{3}\right\}, f(x)-(x+1)=\frac{3}{3 x-1}.
7. En déduire que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left[ f(x)-(x+1)\right]=0 et que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\left[ f(x)-(x+1)\right]=0.
Remarque
Dans ce cas, on dit que la droite d d'équation y = x + 1 est asymptote oblique à \mathcal{C}_{f} en +\infty et en -\infty.Ressource affichée de l'autre côté.
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102
Approfondissement
1. Soit f la fonction définie sur ] 3 ;+\infty[ par
f(x)=\frac{x^{2}-4 x+2}{x-3}. On note \mathcal{C}_{f} la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
a. Soit d la droite représentative de la fonction g telle que, pour tout x \in \mathbb{R}, g(x)=x-1. Montrer que d est une asymptote oblique à \mathcal{C}_{f} en +\infty.
b. Montrer que la limite de \frac{f}{g} en +\infty est égale à 1.
a. Soit d la droite représentative de la fonction g telle que, pour tout x \in \mathbb{R}, g(x)=x-1. Montrer que d est une asymptote oblique à \mathcal{C}_{f} en +\infty.
Aide
La définition d'une asymptote oblique est donnée dans
l'exercice .
b. Montrer que la limite de \frac{f}{g} en +\infty est égale à 1.
Remarque
On dit alors que f et g sont équivalentes en +\infty (on peut noter f \sim g).
2. Trouver deux fonctions h et \ell telles que h et \ell soient équivalentes en en +\infty mais telles que \mathcal{C}_{h} et \mathcal{C}_{\ell}, n'admettent pas une même asymptote oblique en en +\infty.
3. Soit u la fonction définie sur \R par u(x)=x^{3}+x^{2}. Trouver un équivalent v à la fonction u en +\infty.
4. Montrer que la limite de x \mapsto \frac{x^{3}}{x^{2}} en +\infty est +\infty.
5. Dans le cours, trouver une expression qui est synonyme de « prépondérante ».
3. Soit u la fonction définie sur \R par u(x)=x^{3}+x^{2}. Trouver un équivalent v à la fonction u en +\infty.
4. Montrer que la limite de x \mapsto \frac{x^{3}}{x^{2}} en +\infty est +\infty.
Aide
On dit alors que x \mapsto x^{3} est prépondérante devant x \mapsto x^{2} ou que x \mapsto x^{2} est négligeable devant x \mapsto x^{3}.
5. Dans le cours, trouver une expression qui est synonyme de « prépondérante ».
Ressource affichée de l'autre côté.
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103
Approfondissement
Soit f la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} \backslash\{-1\}, telle que, pour tout réel x, f(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}-x+3}{x+1}. On note \mathcal{C}_{f} la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
1. a. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b. Que peut-on en déduire pour \mathcal{C}_{f} ?
2. À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer la représentation graphique \mathcal{C}_{f} de f.
3. Sur le même graphique, tracer la parabole \mathcal{P} d'équation y=x^{2}-3 x+2.
4. Observer ce qui se passe pour les deux courbes \mathcal{C}_{f} et \mathcal{P} lorsque x tend vers +\infty, puis lorsque x tend vers-\infty.
b. Que peut-on en déduire pour \mathcal{C}_{f} ?
2. À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer la représentation graphique \mathcal{C}_{f} de f.
3. Sur le même graphique, tracer la parabole \mathcal{P} d'équation y=x^{2}-3 x+2.
4. Observer ce qui se passe pour les deux courbes \mathcal{C}_{f} et \mathcal{P} lorsque x tend vers +\infty, puis lorsque x tend vers-\infty.
5. a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}
f(x)=x^{2}-3 x+2+\frac{1}{x+1}.
b. En déduire que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left[f(x)-\left(x^{2}-3 x+2\right)\right]=0 et que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\left[f(x)-\left(x^{2}-3 x+2\right)\right]=0.
b. En déduire que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left[f(x)-\left(x^{2}-3 x+2\right)\right]=0 et que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\left[f(x)-\left(x^{2}-3 x+2\right)\right]=0.
Remarque
On dit dans ce cas que la parabole \mathcal{P} d'équation y=x^{2}-3 x+2 est asymptote à \mathcal{C}_f en +\infty et en -\infty. On parle de parabole asymptote.Ressource affichée de l'autre côté.
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Le Grand Oral
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Présentation de la deuxième partie de l'épreuve
Exemple de sujet : Quels sont les liens entre les asymptotes obliques et les limites ?
Méthode
❯ Après votre présentation, un temps de reprise avec le jury s'ouvre sous la forme d'un dialogue. Cet échange doit vous permettre de préciser ou corriger votre discours. Lors de cet échange, d'une durée de 10 minutes, les deux professeurs vont vous poser des questions pour développer ou approfondir certains aspects du sujet que vous avez présenté.❯ Les questions posées par le jury ne sont pas des pièges : elles vous donnent l'occasion de compléter votre présentation ou de préciser des idées que vous avez évoquées au cours de votre exposé. Faites-vous confiance : vous maîtrisez parfaitement votre sujet, les questions du jury vont vous donner l'occasion de le montrer.
❯ Enfin, le jury peut également vous poser des questions qui font appel à des parties du programme de Spécialité en Première et en Terminale, en lien ou non avec le sujet que vous avez présenté. Ne paniquez pas : le jury évalue simplement vos connaissances, les réflexes que vous avez acquis tout au long de ces deux années et votre capacité à raisonner.
Exemples de questions sur ce sujet
❯ Quels sont les autres types d'asymptotes ?Pensez à vous appuyer sur des exemples précis pour illustrer votre propos.
❯ Quelle méthode algébrique peut-on utiliser pour connaître la position d'une courbe par rapport à une asymptote ? Quelles sont les positions possibles que l'on peut déterminer ?
Une étude de signe sera ici nécessaire.
❯ Proposer une raison de s'intéresser aux limites d'une fonction et aux asymptotes associées.
Pensez à une situation concrète.
❯ Proposer une fonction admettant une asymptote oblique en utilisant la fonction exponentielle.
Assurez-vous de bien connaître toutes les propriétés de la fonction exponentielle.
Méthodologie
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah