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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
TP INFO 2
Limites et composées de fonctions
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Énoncé
Certaines fonctions étudiées au lycée ne peuvent s'écrire comme somme, produit ou quotient de fonctions de référence. Leurs limites éventuelles ne peuvent donc pas être déterminées à l'aide des théorèmes d'opérations sur les limites données dans le cours.
On s'intéresse à la fonction f définie sur ] 0 ;+\infty[ par f(x)=\sqrt{\frac{4 x+1}{x}} et à ses limites en 0 et en +\infty.
Questions préliminaires :
1. Quelles sont les fonctions de référence qui interviennent dans l'écriture de la fonction f ?
2. Justifier qu'il existe une fonction g, qu'on déterminera, telle que, pour tout x > 0, f(x)=\sqrt{g(x)}.
1. Quelles sont les fonctions de référence qui interviennent dans l'écriture de la fonction f ?
2. Justifier qu'il existe une fonction g, qu'on déterminera, telle que, pour tout x > 0, f(x)=\sqrt{g(x)}.
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Objectif
Comprendre la construction de la fonction f et déterminer ses limites en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1GeoGebra
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. Tracer, sur le même graphique \mathcal{C}_{h}, la courbe représentative de la fonction h: x \mapsto \sqrt{x}.
3. Toujours sur le même graphique, tracer la droite d d'équation y = x.
4. a. Construire graphiquement l'image de 2 par la fonction g.
b. À l'aide de la droite d, construire graphiquement l'image de g(2) par la fonction h.
5. a. Créer un curseur a allant de 1 à 30 avec un pas de 1.
b. Créer le point \text{A} de coordonnées (a\:; g(a)).
c. Créer le point \text{B} de d d'abscisse g(a).
d. Créer la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par \text{B}. On appelle \text{C} le point d'intersection de cette droite et de \mathcal{C}_{h}.
e. Déplacer le curseur et observer le comportement du point \text{C}.
f. Que conjecturer pour la limite de f en +\infty ?
6. Conjecturer la limite de f en 0 en utilisant une méthode similaire.
f. Que conjecturer pour la limite de f en +\infty ?
6. Conjecturer la limite de f en 0 en utilisant une méthode similaire.
GeoGebra
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Méthode 2Tableur
1. Remplir la colonne A avec les nombres 1 à 50.
2. Quelle formule doit-on écrire dans la cellule B2 pour obtenir les images des nombres de la colonne A par la fonction g: x \mapsto \frac{4 x+1}{x} en faisant un copier-glisser ?
3. À l'aide de la fonction h: x \mapsto \sqrt{x}, remplir la colonne C pour trouver les images par la fonction f en utilisant les images par la fonction g de la colonne B.
2. Quelle formule doit-on écrire dans la cellule B2 pour obtenir les images des nombres de la colonne A par la fonction g: x \mapsto \frac{4 x+1}{x} en faisant un copier-glisser ?
3. À l'aide de la fonction h: x \mapsto \sqrt{x}, remplir la colonne C pour trouver les images par la fonction f en utilisant les images par la fonction g de la colonne B.
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4. Que peut-on conjecturer pour la limite de f en +\infty ?
5. Suivre la même démarche pour conjecturer la limite de f en 0.
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On a f(x)=h(g(x)) pour tout x \in] 0 ;+\infty[ :
f est la composée de la fonction g par la fonction h.
On note aussi f=h \circ g. On peut démontrer le théorème suivant :
« Soient g et h deux fonctions. a, b et c sont des nombres réels ou +\infty ou -\infty.
Si \lim\limits_{\substack{x \to a}}g(x)=b et \lim\limits_{\substack{x \to b}}h(x)=c, alors \lim\limits_{\substack{x \to a}}h(g(x))=c. »
Si \lim\limits_{\substack{x \to a}}g(x)=b et \lim\limits_{\substack{x \to b}}h(x)=c, alors \lim\limits_{\substack{x \to a}}h(g(x))=c. »
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