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[D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2015.
]
Dans le plan muni d'un repère orthonormé
(\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j}),
on désigne par
\mathcal{C}_u la courbe représentative de la fonction
u définie sur l'intervalle
] 0\:;+\infty[ par
u(x)=a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}, où
a,
b et
c sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe
\mathcal{C}_u et la droite
\mathcal{D} d'équation
y = 1.
On précise que la courbe
\mathcal{C}_u passe par les points
\mathrm{A}(1\:; 0) et
\mathrm{B}(4\:; 0) et que l'axe des ordonnées et la droite
\mathcal{D} sont asymptotes à la courbe
\mathcal{C}_u.
1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).
2. Donner \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}u(x). En déduire la valeur de a.
3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, u(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{x^{2}}.