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Démo
[Raisonner.
]
On se propose de démontrer le théorème des gendarmes en
+\infty. On considère donc trois fonctions
f,
g et
h définies sur un intervalle
\text{I} de la forme
\text{I} = ]\text{A}\: ; +\infty[, où
\text{A} peut être un réel ou
-\infty. On suppose que, pour tout
x \in \text{I}, g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) et que
g et
h ont la même limite
\ell en
+\infty.
1. Soit \epsilon > 0. Expliquer pourquoi il existe m_1 tel que, pour tout x \in \text{I}, si x > m_1, alors \ell - \varepsilon < g(x) < \ell \; + \varepsilon.
2. Faire de même avec h.
3. Démontrer alors que \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty}} f(x) = \ell.