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Énoncé
Le 1er janvier, on constate que quelques habitants d'un village de 500 habitants sont infectés par un virus.
Puis, le virus se propage.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Voici le tableau donnant l'évolution du nombre total de personnes infectées dans le village.
On note \mathrm{N}(t) ce nombre en fonction du nombre t de jours depuis le 1er janvier jusqu'au 10 janvier.
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
\mathrm{N}(t)
6
14
41
98
138
167
185
195
198
199
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Objectif
Prévoir si le virus va continuer à se propager dans le village et atteindre toute la population en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1
GeoGebra
1. En utilisant le tableau de valeurs ci-dessus, créer dix points de coordonnées (t\:; \mathrm{N}(t)) sur un graphique.
2. Créer trois curseurs : \text{K} entre \text{100} et \text{500} avec un pas de \text{1}, a entre \text{0} et \text{100} avec un pas de 1, et r entre 0 et 2 avec un pas de {0{,}1}.
3. Créer la fonction \mathrm{N}: t \mapsto \frac{\mathrm{K}}{1+a \mathrm{e}^{-r t}}.
4. Ajuster les curseurs \text{K}, r et a pour que la courbe suive au plus près les points. Noter ces valeurs.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
5. Par lecture graphique, préciser si tout le village va
être infecté. Expliquer la démarche.
6. Construire un outil géométrique permettant de déterminer graphiquement le moment où la vitesse de propagation est la plus élevée. Préciser la date approximative de ce moment.
GeoGebra
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Méthode 2
Calculatrice
1. Dans le menu « Statistiques » de la calculatrice (ou dans le menu « Régression » pour les calculatrices NumWorks), entrer les données du tableau.
2.a. Dans ce menu, choisir la régression linéaire. Effectuer une régression linéaire en mathématiques revient à trouver une fonction affine qui permettra de s'approcher au mieux de la situation réelle observée.
b. Noter f la fonction déterminée par la calculatrice (arrondir les coefficients au dixième).
3. Recommencer avec une régression du second degré (fonction g), du troisième degré (fonction h), exponentielle (fonction \ell), puis logistique (fonction m).
4. Tracer toutes ces fonctions sur le même écran de la calculatrice.
5. Quelles sont les modèles qui semblent suivre au mieux les points ?
6. En utilisant le contexte du problème d'épidémie, quel modèle faudrait-il garder ?
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