Pour chaque fonction, identifier le terme dominant et factoriser par celui-ci l'expression de la fonction.

1. f : x \rightarrow x^3 - 4x^2 - 15x + 100

2. g : x \rightarrow \mathrm{e}^x - x^5

3. h : x \rightarrow \sqrt{{x}} - 2x + x^3

4. k : x \rightarrow x\sqrt{{x}} - x + \dfrac{1}{\sqrt{{x}}}

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Flash

Donner le domaine de définition et simplifier les fonctions rationnelles suivantes.

1. f : x \rightarrow \dfrac{x^3 + x^2 - 3x}{2x^2 - x}

2. g : x \rightarrow \dfrac{x^2 - 4}{(x - 2) (x + 3)}

3. h : x \rightarrow \dfrac{x^2+10x+25}{x^2 +5x}

4. k : x \rightarrow \dfrac{x^2-x-12}{x^2 + 4x + 3}

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[Calculer.]
Déterminer la limite des fonctions suivantes en a.

1. f:x \rightarrow -x^3 -x^2+12 \;; a=+\infty

2. g : x \rightarrow \dfrac{1}{-x^3 - x^2 + 12} ; a = +\infty

3. h: x \rightarrow \mathrm{e}^x + x^2 ; a=-\infty

4. k : x \rightarrow \mathrm{e}^x + x^2 ; a = +\infty

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53
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite des fonctions en +\infty.

1. f : x \rightarrow (x\sqrt{{x}} + 1)(x - 2)

2. g : x \rightarrow \sqrt{{x}} + x^3

3. h : x \rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{{x}}} (1 + x^2)

4. k : x \rightarrow \dfrac{\sqrt{{x}} + 2}{x}

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54
[Calculer.]
Déterminer la limite (ou la limite à droite et la limite à gauche) des fonctions suivantes en a.

1. f : x \rightarrow \dfrac{1}{(x - 3)^2 (x + 1)} ; a = 3

2. g : x \rightarrow \dfrac{x^2+1}{x - 2} ; a=2

3. h : x \rightarrow \dfrac{\sqrt{x} - 3}{2x - 4} ; a = 2

4. k : x \rightarrow - \dfrac{2}{1 - 2x} ; a = \dfrac{1}{2}

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[Calculer.]
Déterminer la limite en a (ou la limite à droite et la limite à gauche) des fonctions suivantes.
1. f : x \rightarrow \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x - 1} \; ; a = 0

2. g : x \rightarrow \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 9} \; ; a=3

3. h : x \rightarrow \dfrac{x^3-4}{x^2 + 3x + 2} \; ; a=-1

4. k : x \rightarrow - \dfrac{x^2-2x-1}{x^3 - 8} \; ; a=2

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56
[Calculer.]
Déterminer la limite des fonctions suivantes en +\infty et en -\infty.

1. f : x \rightarrow x^2-2x-1

2. g : x \rightarrow x^3+5x^2-3

3. h : x \rightarrow -x^4 - x^2

4. k : x \rightarrow 4x^5 - x^3 + 2x^2 + 1

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57
[Calculer.]
Déterminer la limite des fonctions suivantes en +\infty et en -\infty.
1. f : x \rightarrow \dfrac{2x^2 - x - 1}{x - 3}

2. g : x \rightarrow \dfrac{-x^3 + 4x^2 + 5}{x^3 + 8}

3. h : x \rightarrow \dfrac{2x^2 - x + 1}{3x^5 + x^2 + 1}

4. k : x \rightarrow \dfrac{(4x-3)(x^2 + 1)}{x^3 + 4}

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58
[Calculer.]
Déterminer la limite (ou la limite à droite et la limite à gauche) des fonctions suivantes en a.

1. f : x \rightarrow \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \;; a = +\infty

2. g : x \rightarrow \dfrac{x^3 + x - 2}{x^2 + 4} \;; a = - 2

3. h : x \rightarrow \dfrac{2x^5 + x - 1}{x^4 +1} \;; a = - 2

4. k : x \rightarrow \dfrac{x^4-16}{x-2} \;; a = 2

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[Calculer.]
Déterminer la limite (ou la limite à droite et la limite à gauche) des fonctions suivantes en a.

1. f : x \rightarrow \dfrac{2} {\sin(x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \;; a = \dfrac{\pi}{3}

2. g : x \rightarrow \dfrac{5}{2 \cos{x - 1}} \;; a = - \dfrac{\pi}{3}

3. h : x \rightarrow \dfrac{5}{2 \sin^2{x} - 1} \;; a = \dfrac{\pi}{4}

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[Calculer.]
Déterminer les limites en +\infty des fonctions suivantes.

1. f : x \rightarrow x-2 \sqrt{x}

2. g : x \rightarrow \dfrac{x^2-3}{\sqrt{x}-1}

3. h : x \rightarrow \dfrac{2\mathrm{e}^x +1}{\mathrm{e}^x-2}

4. k : x \rightarrow \mathrm{e}^{2x} -\mathrm{e}^x

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Démo

[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non nul. On cherche à déterminer la limite de \dfrac{1}{x^n} lorsque x tend vers 0 en restant non nul. On pose \text{X} = \dfrac{1}{x} .
1. a. Lorsque n est pair, justifier que \text{X}^n > 0.

b. Démontrer alors que \text{X}^n tend vers +\infty lorsque x \rightarrow 0.

c. Si n est pair, en déduire la limite de \dfrac{1}{x^n} lorsque x \rightarrow 0.

2. a. Lorsque n est impair, étudier le signe de \text{X}^n en fonction du signe de x.

b. Préciser vers quoi tend \text{X} lorsque x \rightarrow 0 en restant strictement positif, puis lorsque x \rightarrow 0 en restant strictement négatif.

c. Si n est impair, en déduire les limites de \text{X}^n puis de \dfrac{1}{x^n} lorsque x \rightarrow 0.

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[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \R^* par f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{x} . On souhaite déterminer la limite en 0 de cette fonction.

1. Montrer que l'expression \dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{x} correspond au taux d'accroissement de la fonction exponentielle entre 0 et x.

2. En utilisant la définition du nombre dérivé en 0, démontrer que \lim\limits_{\substack{ x \to 0 }} f(x) = 1.

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63
[Raisonner.]
En utilisant la méthode donnée dans l'exercice précédent, déterminer la limite en 0 de la fonction définie sur \R^* par f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}.

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64
[Raisonner.]
En utilisant la méthode donnée dans l'exercice 62, déterminer la limite en 0 des fonctions suivantes.

1. f : x \rightarrow \dfrac{\mathrm{e}^{3x+2}-\mathrm{e}^2}{x}

2. g : x \rightarrow \dfrac{\cos(x) - 1}{x}

3. h : x \rightarrow \dfrac{(x + 2)^3 - 8}{x}

4. k : x \rightarrow \dfrac{\sqrt{x+5} - \sqrt{5}}{x}

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Python

[Modéliser.]
Soit f la fonction sur \R définie par : f(x) = \dfrac{x^3 - 2x + 1}{\sqrt{x}+3} .
1. Déterminer la limite de f en +\infty.

2. On considère l'algorithme suivant.

\boxed{ \begin{array} { l } {x} \leftarrow { 50 } \\ \text {Tant que } f(x) \leqslant 10^5 : \\ \quad \quad {x} \leftarrow { x + 1 } \\ \text {Fin tant que} \end{array} }

a. Que permet de faire cet algorithme ?

b. Justifier que la boucle va s'arrêter.

c. Programmer cet algorithme avec Python et faire afficher la dernière valeur de x calculée.

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Python

[Modéliser.]

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +\infty[ par : f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x^2+ \sqrt{x}}.
1. a. Déterminer la limite \ell de f en +\infty.

b Interpréter graphiquement ce résultat.

2. On admet que la fonction f est décroissante sur ]6 ; +\infty[. On cherche le plus petit entier \text{N} tel que, pour tout x \in \R^*, si x > \text{N}, alors |f(x) - \ell|\lt 10^{-5}.
a. Écrire un algorithme permettant de trouver \text{N}.

b. Programmer cet algorithme avec Python et faire afficher la valeur de \text{N} souhaitée.

c. Comment peut-on interpréter graphiquement le résultat de cet algorithme ?

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Vrai / Faux

[Communiquer.]
Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Si f est une fonction strictement décroissante sur [0 ; + 3[, alors \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = -\infty.

2. Soit \ell \in \R. Si \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = \ell et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = \ell alors \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} (f(x) - g(x)) = 0.

3. Si \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = +\infty, alors \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} (f(x) - g(x)) = 0.

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En Optique

[Modéliser.]

En optique, la profondeur de champ correspond à la zone de prise de vue dans laquelle doit se trouver le sujet à photographier pour que l'on puisse en obtenir une image que l'œil acceptera comme nette. Plus la profondeur de champ est étendue, plus elle intègre le sujet dans son environnement (Photo 1). Inversement, plus elle est petite, plus elle l'isole (Photo 2). C'est principalement l'ouverture du diaphragme de l'appareil photo qui va permettre ce réglage.
Si la netteté doit s'étendre de la distance \text{P}_1 à la distance \text{P}_2, la mise au point doit être faite à la distance :

\text{D} = \dfrac{2 \text{P}_1\text{P}_2}{\text{P}_1 + \text{P}_2}

Toutes les distances sont exprimées en mètre.

MAT.T.5.ExEntrainement.profondeur-champ_retoucheok

① Petite ouverture du diaphragme, grande profondeur de champ.
②Grande ouverture du diaphragme, petite profondeur de champ.

1. On veut photographier un sujet dont les éléments intéressants sont compris entre 1,5 m et 3 m. Calculer la distance de mise au point.

2. On veut maintenant que les sujets soient nets à partir d'une distance de 4 m.
a. Montrer que l'on a alors \text{D} = 8 - \dfrac{32}{4 +\text{P}_2} .

b. Étudier cette fonction \text{D} définie pour \text{P}_2 \in [4 ; +\infty [ et tracer la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthogonal.

c. On souhaite que la netteté s'étende de 4 m à l'infini. Calculer la distance de mise au point.

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Python

[Modéliser.]
On cherche à déterminer la limite d'une fonction f définie sur [0 \:; 7[ \;\cup \;]7 \:; +\infty[ lorsque x tend vers 7 en restant strictement supérieur à 7. On donne alors le programme suivant réalisé avec Python.

from math import sqrt

def f(x):
  return(7 + sqrt(x))/(x - 7)

def g(N):
  x = 10
  while f(x) <= N:
    x = (x + 7)/2
  return (x - 7)

1. À l'aide du programme, déterminer l'expression de la fonction f.

2. Donner les valeurs renvoyées pour g(100), g(500) puis g(1 000).

3. Vérifier avec quelques exemples qu'en commençant avec x = 10, l'instruction de la ligne 9 permet bien d'avoir des nombres de plus en plus proches de 7.

4. Que semble mettre en évidence ce programme pour la limite de la fonction f en 7 ?

5. Démontrer cette conjecture.

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[Communiquer.]
Dans chaque cas, déterminer deux fonctions f et g telles que :

1. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = +\infty et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} (f(x) - g(x)) = 2.

2. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = +\infty et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} (f(x) - g(x)) = +\infty.

3. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = 0 et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) \times g(x) = 0.

4. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = 0 et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) \times g(x) = 5.

5. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = 0 et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) \times g(x) = +\infty.

6. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = +\infty et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} \dfrac{f(x)} {g(x)} = +\infty.

7. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = +\infty et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} \dfrac{f(x)} {g(x)} = 3.

8. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) = +\infty, \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} g(x) = +\infty et \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} \dfrac{f(x)} {g(x)} = 0.

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[Raisonner.]
Soient a, b et c trois réels. On considère la fonction f définie par f(x) = \dfrac{ax^2 + 2x - 5}{x^2 + bx + c} sur un ensemble \mathcal{D}_f. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

1. Déterminer les valeurs de a, b et c pour que \mathcal{C}_f admette pour asymptotes les droites d'équation y = -2, x = 1 et x = -4.

2. Déterminer les valeurs possibles de a, b et c pour que \mathcal{C}_f admette pour seules asymptotes les droites d'équation y = 3 et x = -2, et que le trinôme du dénominateur n'ait pas de racine double.

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