8

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\frac{2 x^{2}-3}{x^{2}+1}. \mathcal{C}_{f} admet comme asymptote la droite d'équation :

a. y=-3

b. x = 2

c. y = 2

d. y = 0

9

Si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=-\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=0, alors \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)g(x)=0.

a. Vrai

b. Faux

10

Soit f une fonction définie sur \R qui vérifie, pour tout réel x, g(x) \lt f(x) \lt h(x) avec \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=0 et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}h(x)=1. On peut affirmer que :

a. si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=\ell alors \ell>0.

b. si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=\ell alors \ell \geqslant 0.

c. f admet une limite +\infty.

d. f n'admet pas de limite en +\infty.

11

Si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=+\infty, alors \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\mathrm{e}^x}{f(x)}=1.

a. Vrai

b. Faux

12

Soit f la fonction définie sur \mathrm{R} \backslash\{-1\} par : f(x)=\frac{5-4 x}{x+1}.
\mathcal{C}_{f} admet comme asymptotes :

a. la droite d'équation y = -4.

b. la droite d'équation y = 5.

c. la droite d'équation x = -1.

d. la droite d'équation x = -4.

13

Soit f une fonction définie sur ] 0 ;+\infty[ telle que 0 \leqslant f(x) \leqslant x^{2} pour tout x \in] 0 ;+\infty[. Alors :

a. \lim\limits_{\substack{x \to 0}}\frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}}=0

b. \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}}=0

c. \mathcal{C}_{f} admet une asymptote verticale.

d. \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=+\infty

14

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos x. Alors :

a. f n'a pas de limite en +\infty.

b. \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=+\infty

c. \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=1

d. \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=0

15

Soient f et g deux fonctions telles que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=-\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=0^+. Alors :

a. la courbe représentative de \frac{f}{g} admet une asymptote horizontale en +\infty.

b. \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{g(x)}{f(x)}=0

c. \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{f(x)}{g(x)}=-\infty

d. \frac{f}{g} n'a pas de limite en +\infty.

16

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition et, si possible, interpréter graphiquement les résultats.

A

Que vaut la limite en +\infty de la fonction f définie par f(x) = \dfrac{3x^2-14x-5}{-x^2+4x+5} ?

a. +\infty

b. -\infty

c. -3

d. Cette limite n'existe pas.

B

Que vaut la limite en 0 de la fonction f définie par f(x) = \dfrac{\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{2}}{x} ?

a. Cette limite n'existe pas.

b. \dfrac{\pi}{6}

c. \dfrac{1}{2}

d. \dfrac{\sqrt{3}}{2}

C

Si, pour tout x suffisamment proche de a, f(x) > 10\,000, alors on peut affirmer que, nécessairement, \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = + \infty.

a. Vrai.

b. Faux.

D

Que vaut la limite en - \infty de la fonction f définie par f(x) = \cos(x) - x ?

a. +\infty

b. -\infty

c. 0

d. Cette limite n'existe pas.

E

La courbe représentative de la fonction f définie sur \mathcal{D}_f par f(x) = \dfrac{3x-1}{x} admet :

a. une asymptote horizontale d'équation y = \dfrac{1}{3}.

b. une asymptote verticale d'équation x = \dfrac{1}{3}.

c. une asymptote horizontale d'équation y = 0.

d. une asymptote verticale d'équation x = 0.

F

Que vaut la limite en +\infty de la fonction f définie sur \mathbb{R}^* par f(x) = \text{sin} (x) \times \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) ?

a. +\infty

b. -\infty

c. 0

d. Cette limite n'existe pas.

G

Si f est une fonction telle que, pour tout réel x, x^3-x^2 \leqslant f(x) \leqslant x^4, alors on peut affirmer que :

a. \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty

b. \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty

c. \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = +\infty

d. \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x) = 0

H

La courbe représentative de la fonction f définie sur \mathcal{D}_f par f(x) = \dfrac{2x^2+5x-3}{x^2-4x+4} admet :

a. une asymptote horizontale d'équation y = - \dfrac{3}{4}.

b. une asymptote verticale d'équation x = - \dfrac{3}{4}.

c. une asymptote horizontale d'équation y = 2.

d. une asymptote verticale d'équation x = 2.