Mathématiques Terminale Spécialité

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Chapitre 5
Activité

Limites de fonctions

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A
Notion de limite en l'infini

Objectif : Introduire la notion de limite en l'infini et d'asymptote horizontale.
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On considère les sept fonctions suivantes chacune définie sur son ensemble de définition :
f: x\mapsto x^{2} ; \quad g:\,x\mapsto \dfrac{x+2}{7-x} ; \quad h:\,x\mapsto x+\sin (x) ; \quad i:\,x\mapsto \sqrt{x} ; \quad j:\,x\mapsto \cos \left(\dfrac{1}{x}\right) ; \quad k:\,x\mapsto \dfrac{4}{(2-x)^{2}} ; \quad m:\,x\mapsto\dfrac{\sin (x)}{x}.
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1
Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces fonctions.

On s'intéresse au comportement de ces fonctions pour de très grandes valeurs de x, c'est-à-dire lorsque x tend vers +\infty.

2
a) À l'aide de ou de la calculatrice, tracer une représentation graphique de chaque fonction.
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b) En justifiant le choix effectué, regrouper ces fonctions en deux catégories en s'appuyant sur leur comportement pour de très grandes valeurs de x.


3
On considère les fonctions f et i.
a) Comment choisir x pour que le nombre x^2 soit supérieur à 25 ? Supérieur à 10^2 ? Supérieur à 10^8 ?


b) Mêmes questions pour \sqrt{x}.


c) On dit que les fonctions f et i ont pour limite +\infty lorsque x tend vers +\infty.
En s'inspirant de l'étude locale précédente, trouver un critère permettant de caractériser cette notion.


4
On considère à présent les fonctions g et k.
a) Comment choisir x pour que -1-g(x) soit inférieur à 1 ? Inférieur à 0{,}1 ? Inférieur à 0{,}01 ?


b) Comment choisir x pour que k(x) soit inférieur à 1 ? Inférieur à 0{,}1 ? Inférieur à 0{,}01 ?


c) Caractériser le fait qu'une fonction a pour limite un réel \ell, lorsque x tend vers +\infty.


d) Comment pourrait-on bien visualiser graphiquement cette limite ?


5
Que peut-on dire des trois autres fonctions ?

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Bilan

Comment formuler le fait que certaines fonctions prennent des valeurs « infiniment grandes » ou des valeurs qui deviennent aussi proches que l'on veut d'un nombre \ell quand x devient de plus en plus grand ?

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B
Notion de limite infinie en un réel

Objectif : Introduire la notion d'asymptote verticale.
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On considère la fonction f définie sur un ensemble \mathcal{D}_{f} par f(x)=\dfrac{1}{x-1}. On note \mathcal{C}_{f} sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
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1
Déterminer l'ensemble de définition \mathcal{D}_{f}.


2
Graphiquement, comment peut-on visualiser la présence d'une valeur interdite ? Décrire notamment le comportement de la courbe représentative de f autour de cette valeur interdite.


3
a) Donner l'image par f des nombres suivants : 2 ; 1{,}1 ; 1{,}01 et 1{,}001. Que remarque-t-on ?


b) Donner l'image par f des nombres suivants : 0 ; 0{,}9 ; 0{,}99 et 0{,}999. Que remarque-t-on ?


4
On considère la droite d d'équation x = 1. Cette droite coupe-t-elle \mathcal{C}_{f} ? Justifier.

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Bilan
On dit que la droite d'équation x = 1 est une asymptote verticale à \mathcal{C}_{f}.
Quel lien existe-t-il entre cette représentation graphique et les limites de f lorsque x tend vers 1 ?
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C
Croissance comparée

Objectif : Comparer les croissances de la fonction exponentielle et des fonctions x \mapsto x^{n} pour tout n \in \mathbb{N}^{*}.
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Dans la première partie du cours, on a vu que, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x^{n}=+\infty.
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1
a) À l'aide de GeoGebra ou de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}.
b) Quelle semble être la limite de cette fonction en +\infty ?


2
Faire de même avec la fonction x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}.


3
On donne ci-dessous les représentations graphiques \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} des fonctions f et g définies, pour tout x \neq 0, par f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{10}} et g(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{50}}. Quelle semble être la limite de ces fonctions en +\infty ?
INF01
Le zoom est accessible dans la version Premium.
INF02
Le zoom est accessible dans la version Premium.


4
Étude de la fonction f.
a) Dans un tableur, remplir la colonne A avec les nombres 1 à 50.
b) Écrire une formule dans la cellule B1 donnant l'image de A1 par la fonction f pour pouvoir ensuite remplir la colonne B par copier-glisser. Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de f en +\infty ?


5
Étude de la fonction g.
a) Refaire la même procédure pour la fonction g en utilisant la colonne C.
Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de g en +\infty ?


b) Remplir la colonne D avec les nombres de 10 à 400 avec un pas de 10.
c) Écrire une formule dans la cellule E1 donnant l'image de D1 par la fonction g, pour pouvoir ensuite remplir la colonne E par copier-glisser. Que constate-t-on ? Cela remet-il en cause l'hypothèse de la question
5
a) ?


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Bilan
Lorsque \boldsymbol{n} \in \mathbb{N}^{*}, quelle semble être la limite de la fonction x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}en +\infty ?
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Remarque

Cette limite est démontrée dans l'exercice .
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Informations

Dans le langage courant, on utilise parfois l'expression « croissance exponentielle » pour désigner une croissance très rapide. Cette expression vient du fait que —comme on vient de le voir— toute fonction polynôme devient négligeable devant la fonction exponentielle pour des valeurs suffisamment grandes.

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