Voir exercices

46

et

48

p. 179.

\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}x^7=-\infty car 7 est impair.

Les limites à l'infini de la fonction exponentielle sont : \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\mathrm{e}^x=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\mathrm{e}^x=0.

Voir exercice

91

p. 184.

On donne la courbe représentative d'une fonction f définie sur \R.

1. Conjecturer le tableau de variations de f sur \R ainsi que les éventuelles limites de f en -\infty et +\infty.

2. Déterminer une équation de l'asymptote horizontale obtenue.

• On observe les variations sur le graphique et on résume toutes ces informations dans un tableau de variations. Pour les images de -2 et -1 on écrit f(-2) et f(-1). On lit ensuite graphiquement une valeur approchée de ces nombres.
• D'après le graphique, il semble que f(x) prend des valeurs de plus en plus grandes lorsque x tend vers -\infty. Il semble donc que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=+\infty. Quand x tend vers +\infty, il semble que f(x) prend des valeurs aussi proches de 1 que l'on veut, et donc que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=1.
• D'après la définition d'une asymptote horizontale, la droite d'équation y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe \mathcal{C}_{f} en +\infty. Il faut bien penser à préciser « en +\infty ».
  En -\infty, il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Soient f une fonction définie sur un ensemble \mathcal{D}_{f} et a un réel de \mathcal{D}_{f} (éventuellement, a est une borne de \mathcal{D}_{f} ). Dire que f a pour limite +\infty lorsque x tend vers a signifie que, quel que soit le réel \text{A}, il existe \delta > 0 tel que, pour tout x \in \mathcal{D}_{f}, si |x - a |\lt \delta, alors f(x)>\mathrm{A}.
On définit de façon similaire \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=-\infty.

On note \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=+\infty.

Autrement dit, \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=+\infty lorsque, pour tout réel \text{A}, l'intervalle [\mathrm{A} ;+\infty[ contient toutes les valeurs de f(x) dès que x est assez proche de a.

• Pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, si n est pair, \lim\limits_{\substack{x \to 0}}\frac{1}{x^n}=+\infty.
• Pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, si n est impair, la fonction x \mapsto \frac{1}{x^{n}} a pour limite +\infty quand x tend vers 0 avec x > 0. On parle de limite à droite en 0. Quand x tend vers 0 avec x \lt 0, elle a pour limite -\infty. On parle de limite à gauche en 0.
• \lim\limits_{\substack{x \to 0}}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty

En cas de limites différentes à droite et à gauche, on note \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x>a}}f(x) et \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x\lt a}}f(x).

Voir exercice

61

p. 180.

Cette démonstration fait appel aux opérations sur les limites.

Soient f une fonction définie sur un ensemble \mathcal{D}_{f} et un nombre réel a étant une borne ou un élément de \mathcal{D}_{f}. Soit \ell \in \mathbb{R}.
Dire que f a pour limite \ell quand x tend vers a signifie que, quel que soit \varepsilon > 0, il existe \delta > 0 tel que, pour tout x \in\mathcal{D}_{f}, si |x - a |\lt \delta, alors |f(x)-\ell|\lt\varepsilon.

On note \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=\ell.

Autrement dit, tout intervalle ouvert contenant \ell contient toutes les valeurs de f(x) dès que x est assez proche de a.

Soit f une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} \backslash\{-1\} dont on donne le tableau de variations ci-dessous.
1. Donner les limites de f en -\infty, +\infty et -1.
2. Préciser le type de chaque asymptote ainsi qu'une équation correspondante.
3. Tracer une allure possible de la courbe représentative de f.

1. On lit les limites qui sont données dans le tableau de variations.
2. D'après les définitions du cours, on trouve une asymptote horizontale en -\infty et une asymptote verticale en -1.
3. On trace d'abord les deux asymptotes qui vont guider le tracé. On place les deux points dont on connaît les coordonnées : \mathrm{A}(1\:; 1) et \text{B}(3\:; 4). En ces points, les tangentes à la courbe sont horizontales. En effet, f admet un minimum local en 1 et un maximum local en 3 donc la dérivée de f s'annule et donc le coefficient directeur des tangentes à \mathcal{C}_{f} en \text{A} et \text{B} est nul. Enfin, on trace la courbe en suivant les variations données dans le tableau et en prenant garde à la valeur interdite.