1. Déterminer l'ensemble de définition.
2. Quelles limites peut-on conjecturer aux bornes de l'ensemble de définition ?
3. Quelles asymptotes éventuelles peut-on conjecturer ?

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Asymptotes

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19

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie sur \mathbb{R}.

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1. Conjecturer le tableau de variations de f sur \mathbb{R} ainsi que les éventuelles limites en -\infty et +\infty.

2. Déterminer une équation de l'asymptote horizontale en -\infty et +\infty.

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20

On donne le tableau de variations d'une fonction g définie sur \mathbb{R}.

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Déterminer à l'aide du tableau une équation des éventuelles asymptotes.

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21

Soit f une fonction définie pour tout réel x \neq 2. On donne le tableau de variations suivant.

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1. Quelles sont les limites données par le tableau de variations ?

2. En déduire la présence d'une asymptote dont on donnera la nature et une équation.

3. Dans un repère orthogonal, tracer une allure possible de la courbe représentative de f.

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22

Soit f une fonction définie sur un ensemble \mathcal{D}_{f}.
On note \mathcal{C}_{f} sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 1. Au maximum, combien d'asymptotes horizontales \mathcal{C}_{f} peut-elle admettre ? Et d'asymptotes verticales ?

2. Trouver deux exemples permettant d'illustrer les réponses à la question précédente.

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23

À l'aide de la calculatrice, associer chaque courbe à une asymptote.

1. \mathcal{C}_{f} d'équation y=\frac{x+1}{x^{2}-3 x-5} ⟺

2. \mathcal{C}_{g} d'équation y=\frac{x^{3}}{2 x^{3}+x+1} ⟺

3. \mathcal{C}_{h} d'équation y=\frac{2 x^{4}+5}{x-3} ⟺

4. \mathcal{C}_{k} d'équation y=-4-\frac{x}{x^{2}+7} ⟺

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Calculs de limites

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24

Déterminer la limite (éventuellement la limite à droite et la limite à gauche) de chaque fonction lorsque x tend vers a. 1. f: x \mapsto x^{3}+x-2 \:; a=-\infty

2. g: x \mapsto \sqrt{x} +\frac{1}{x} \:; a=+\infty

3. h: x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}+2}\:; a=+\infty

4. k: x \mapsto \frac{1}{x-2}\:; a=2

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25

Déterminer la limite (éventuellement la limite à droite et la limite à gauche) de chaque fonction lorsque x tend vers a. 1. f: x \mapsto-\frac{3}{x^{2}+x}+5\:; a=+\infty

2. g: x \mapsto \frac{1}{x-4}+\sqrt{x}\:; a=4

3. h: x \mapsto \frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{x-1}} ; a=+\infty

4. k: x \mapsto \frac{1}{x}+5 ; a=0

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26

Déterminer les limites à gauche et à droite de chaque fonction lorsque x tend vers a.

1. f: x \mapsto \frac{x^{3}-2 x^{2}}{(x-1)^{2}}\:; a=1

2. g: x \mapsto \frac{5 x+2}{x+4}\:; a=-4

3. h: x \mapsto \frac{1}{x^{2}-1}\:; a=-1

4. k: x \mapsto \frac{2}{\sqrt{x}-2}\:; a=4

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Formes indéterminées

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27

Déterminer les limites de chaque fonction en -\infty et en +\infty. 1. f: x \mapsto x^{2}-3 x+1

2. g: x \mapsto-x^{5}+10 x^{4}+x^{2}+x

3. h: x \mapsto \frac{x^{2}+2 x-3}{x+1}

4. k: x \mapsto \frac{3 x^{2}-1}{x^{2}-2}

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28

Déterminer les limites de chacune des fonctions ci-après en -\infty et en +\infty. 1. f: x \mapsto 3 x^{4}-3 x^{2}+5 x+1

2. g: x \mapsto \frac{-x^{3}+x-1}{2 x+1}

3. h: x \mapsto \frac{4 x^{2}-3}{x^{7}-5 x^{4}+x^{2}+2 x-3}

4. k: x \mapsto \frac{x^{2}+x+1}{5 x^{2}+2}

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Théorèmes de comparaison et croissances comparées

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29

Soit f une fonction définie sur \R vérifiant, pour tout réel x, x-2 \leqslant f(x) \leqslant x+2. Que peut-on en déduire pour les limites de f en +\infty et en -\infty ?

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30

Soit g une fonction définie sur \R vérifiant, pour tout réel x non nul, 3-\frac{1}{x^{2}} \leqslant g(x) \leqslant 3+\frac{1}{x^{2}}. Que peut-on en déduire pour les limites de g en +\infty et en -\infty ? Et en 0 ?

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31

On considère la fonction \ell définie sur \R par \ell(x)=\mathrm{e}^{x}+x-1. 1. Factoriser l'expression \ell(x) par \mathrm{e}^x.

2. Déterminer les limites de \ell en -\infty et +\infty.

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32

Déterminer les limites de chaque fonction en +\infty. 1. f: x \mapsto x^{2}+2 \cos (x)

2. g: x \mapsto \frac{\sin (x)}{x}

3. h: x \mapsto \frac{1}{\cos (x)+x}

4. k: x \mapsto \sqrt{x^{2}+2}

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33

Déterminer les limites de chaque fonction en -\infty et en +\infty. 1. f: x \mapsto \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}

2. g: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}+1}{x}

3. h: x \mapsto \mathrm{e}^{x}+2

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34

Les limites ci-dessous ont été calculées avec la fenêtre « Calcul formel » de GeoGebra. Justifier la réponse obtenue.

Théorèmes de comparaison et croissances comparées

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Exercices inversés

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35

Déterminer une fonction f définie sur un ensemble de définition à préciser vérifiant \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=3 et \lim\limits_{\substack{x \to 5}}f(x)=-\infty.

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36

Déterminer une fonction f dont la représentation graphique admet une asymptote d'équation y = 2 en -\infty mais pas d'asymptote en +\infty.

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Travailler les automatismes

Pour les exercices 17 et 18 répondre aux questions suivantes pour la fonction représentée.

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