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Mathématiques Terminale Spécialité

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Travailler les automatismes

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Pour les exercices
17
et
18
répondre aux questions suivantes pour la fonction représentée.

1. Déterminer l'ensemble de définition.
2. Quelles limites peut-on conjecturer aux bornes de l'ensemble de définition ?
3. Quelles asymptotes éventuelles peut-on conjecturer ?
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1.1.

1.2.

1.3.


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2.1.

2.2.

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Asymptotes
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19

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie sur \mathbb{R}.

INF13
1. Conjecturer le tableau de variations de f sur \mathbb{R} ainsi que les éventuelles limites en -\infty et +\infty.

2. Déterminer une équation de l'asymptote horizontale en -\infty et +\infty.
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20

On donne le tableau de variations d'une fonction g définie sur \mathbb{R}.

ex20

Déterminer à l'aide du tableau une équation des éventuelles asymptotes.
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21

Soit f une fonction définie pour tout réel x \neq 2. On donne le tableau de variations suivant.

ex21
1. Quelles sont les limites données par le tableau de variations ?

2. En déduire la présence d'une asymptote dont on donnera la nature et une équation.

3. Dans un repère orthogonal, tracer une allure possible de la courbe représentative de f.
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22

Soit f une fonction définie sur un ensemble \mathcal{D}_{f}.
On note \mathcal{C}_{f} sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 1. Au maximum, combien d'asymptotes horizontales \mathcal{C}_{f} peut-elle admettre ? Et d'asymptotes verticales ?

2. Trouver deux exemples permettant d'illustrer les réponses à la question précédente.
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23

À l'aide de la calculatrice, associer chaque courbe à une asymptote.
1. \mathcal{C}_{f} d'équation y=\frac{x+1}{x^{2}-3 x-5} ⟺

2. \mathcal{C}_{g} d'équation y=\frac{x^{3}}{2 x^{3}+x+1} ⟺

3. \mathcal{C}_{h} d'équation y=\frac{2 x^{4}+5}{x-3} ⟺

4. \mathcal{C}_{k} d'équation y=-4-\frac{x}{x^{2}+7} ⟺
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Calculs de limites
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24

Déterminer la limite (éventuellement la limite à droite et la limite à gauche) de chaque fonction lorsque x tend vers a. 1. f: x \mapsto x^{3}+x-2 \:; a=-\infty

2. g: x \mapsto \sqrt{x} +\frac{1}{x} \:; a=+\infty

3. h: x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}+2}\:; a=+\infty

4. k: x \mapsto \frac{1}{x-2}\:; a=2
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25

Déterminer la limite (éventuellement la limite à droite et la limite à gauche) de chaque fonction lorsque x tend vers a. 1. f: x \mapsto-\frac{3}{x^{2}+x}+5\:; a=+\infty

2. g: x \mapsto \frac{1}{x-4}+\sqrt{x}\:; a=4

3. h: x \mapsto \frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{x-1}} ; a=+\infty

4. k: x \mapsto \frac{1}{x}+5 ; a=0
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26

Déterminer les limites à gauche et à droite de chaque fonction lorsque x tend vers a.
1. f: x \mapsto \frac{x^{3}-2 x^{2}}{(x-1)^{2}}\:; a=1

2. g: x \mapsto \frac{5 x+2}{x+4}\:; a=-4

3. h: x \mapsto \frac{1}{x^{2}-1}\:; a=-1

4. k: x \mapsto \frac{2}{\sqrt{x}-2}\:; a=4
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Formes indéterminées
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27

Déterminer les limites de chaque fonction en -\infty et en +\infty. 1. f: x \mapsto x^{2}-3 x+1

2. g: x \mapsto-x^{5}+10 x^{4}+x^{2}+x

3. h: x \mapsto \frac{x^{2}+2 x-3}{x+1}

4. k: x \mapsto \frac{3 x^{2}-1}{x^{2}-2}
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28

Déterminer les limites de chacune des fonctions ci-après en -\infty et en +\infty. 1. f: x \mapsto 3 x^{4}-3 x^{2}+5 x+1

2. g: x \mapsto \frac{-x^{3}+x-1}{2 x+1}

3. h: x \mapsto \frac{4 x^{2}-3}{x^{7}-5 x^{4}+x^{2}+2 x-3}

4. k: x \mapsto \frac{x^{2}+x+1}{5 x^{2}+2}
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Théorèmes de comparaison et croissances comparées
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29
Soit f une fonction définie sur \R vérifiant, pour tout réel x, x-2 \leqslant f(x) \leqslant x+2. Que peut-on en déduire pour les limites de f en +\infty et en -\infty ?
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30
Soit g une fonction définie sur \R vérifiant, pour tout réel x non nul, 3-\frac{1}{x^{2}} \leqslant g(x) \leqslant 3+\frac{1}{x^{2}}. Que peut-on en déduire pour les limites de g en +\infty et en -\infty ? Et en 0 ?
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31

On considère la fonction \ell définie sur \R par \ell(x)=\mathrm{e}^{x}+x-1. 1. Factoriser l'expression \ell(x) par \mathrm{e}^x.

2. Déterminer les limites de \ell en -\infty et +\infty.
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32

Déterminer les limites de chaque fonction en +\infty. 1. f: x \mapsto x^{2}+2 \cos (x)

2. g: x \mapsto \frac{\sin (x)}{x}

3. h: x \mapsto \frac{1}{\cos (x)+x}

4. k: x \mapsto \sqrt{x^{2}+2}
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Déterminer les limites de chaque fonction en -\infty et en +\infty. 1. f: x \mapsto \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}

2. g: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}+1}{x}

3. h: x \mapsto \mathrm{e}^{x}+2
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34

Les limites ci-dessous ont été calculées avec la fenêtre « Calcul formel » de GeoGebra. Justifier la réponse obtenue.
1.
Placeholder pour Calcul mathématique : limite d'une fonction rationnelle tendant vers l'infini, résultat 3/4.Calcul mathématique : limite d'une fonction rationnelle tendant vers l'infini, résultat 3/4.


2.
Placeholder pour Image d'une formule mathématique montrant une limite à l'infini.Image d'une formule mathématique montrant une limite à l'infini.


3.
Placeholder pour Image d'une formule mathématique montrant le calcul d'une limite tendant vers 0.Image d'une formule mathématique montrant le calcul d'une limite tendant vers 0.


4.
Placeholder pour Image d'une formule mathématique montrant la limite de (cos(x)-2)/(x+4) quand x tend vers l'infini, égale à 0.Image d'une formule mathématique montrant la limite de (cos(x)-2)/(x+4) quand x tend vers l'infini, égale à 0.
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Exercices inversés
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Déterminer une fonction f définie sur un ensemble de définition à préciser vérifiant \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=3 et \lim\limits_{\substack{x \to 5}}f(x)=-\infty.
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36
Déterminer une fonction f dont la représentation graphique admet une asymptote d'équation y = 2 en -\infty mais pas d'asymptote en +\infty.
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