1. Étudier la fonction valeur absolue : définition, variations.
2. Étudier une fonction polynôme du second degré : variations, extremum, axe de symétrie, sommet.
3. Connaître les différentes expressions d'une fonction polynôme du second degré.
4. Choisir la forme adaptée au contexte.
5. Étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée.
6. Étudier la position relative de courbes.

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Le four solaire d'Odeillo dans les Pyrénées-Orientales est un four fonctionnant à l'énergie solaire d'une puissance thermique d'un mégawatt. Avec ses 54 mètres de haut et 48 mètres de large, il est l'un des deux plus grands au monde. La forme parabolique des miroirs qui le composent peut être obtenue grâce aux fonctions étudiées dans ce chapitre. Les mêmes propriétés sont utilisées pour les antennes paraboliques et les phares de voiture.

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Avant de commencer

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Prérequis

1. Connaître la valeur absolue d'un nombre réel et la distance entre deux nombres réels.
2. Étudier les variations, les extremums et la parité d'une fonction.
3. Utiliser les identités remarquables.
4. Connaître la fonction carré.
5. Dresser le tableau de signes d'une fonction affine et d'un produit de fonctions affines.

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Anecdote

Tout nombre entier naturel peut s'écrire comme la somme de quatre carrés. Par exemple : 39 = 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 }.

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1
Calculer la valeur absolue d'un nombre

Exprimer les nombres suivants sans la valeur absolue. 1. | - 5 |

2. | 3 - 1 |

3. | 2 -3\pi |

4. \left| 2 - \dfrac { 2 } { 3 } \right|

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3
Transformer une expression

1. Développer les expressions suivantes définies pour tout x \in \mathbb { R }.
a. 4 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 5

b. 2 - ( x + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }

c. 7 ( x + 5 ) \left( x - \dfrac { 3 } { 4 } \right)

2. Factoriser les expressions suivantes définies pour tout x \in \mathbb { R }.
a. x ^ { 2 } - 9

b. 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9

c. x - 5 x ^ { 2 }

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2
Utiliser la valeur absolue d'un nombre

Résoudre dans \mathbb { R } les équations et inéquations suivantes. 1. | x | = 6

2. | x | = -1

3. | x | = 0

4. | x | \lt 2

5. | x | \geqslant 3

6. | x | \leqslant -1

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4
Utiliser les variations d'une fonction

Déterminer un encadrement de x^2 dans les cas suivants. 1. - 8 \leqslant x \lt - 3

2. 2 \lt x \leqslant 7

3. - 4 \leqslant x \lt 2

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5
Résoudre des (in)équations

Résoudre dans \mathbb { R } les équations et inéquations suivantes. 1. x^2 = 25

2. 3x^2 + 7 = 4

3. x^2 \gt 5

4. 6 - 5 x ^ { 2 } \geqslant 1

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6
Déterminer le signe d'une expression

Étudier le signe des expressions suivantes définies sur \mathbb { R }. 1. 5x - 8

2. 6 - 3x

3. (2x - 3)(7 - 5x)

4. - \dfrac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }

5. 12 - 3 | x |

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7
Résoudre des équations avec des valeurs absolues

1. Selon les valeurs du réel x, écrire les expressions suivantes sans la notation valeur absolue.
a. | 5 - x |

b. | 2x - 6 |

2. En déduire, selon les valeurs du réel x, l'expression sans la notation valeur absolue de | 5 - x | + | 2 x - 6 |.

3. Résoudre les équations suivantes.
a. | 2x - 6 |=0

b. | 2x - 6 |\lt 2

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8
Problème

Une boîte de conserve de forme cylindrique mesure 15 cm de hauteur.

Boite de conserve - Fonctions de référence

1. Dans cette question, le diamètre est de 10 cm. Déterminer le volume, en litre, contenu dans cette boîte de conserve.

2. Dans cette question, la boîte de conserve doit contenir un volume de 500 mL. Quel est son diamètre ?

Aide

1 mL =1 cm³.

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Fonctions de référence

Capacités attendues

Avant de commencer

Prérequis

Anecdote

1 Calculer la valeur absolue d'un nombre

3 Transformer une expression

2 Utiliser la valeur absolue d'un nombre

4 Utiliser les variations d'une fonction

5 Résoudre des (in)équations

6 Déterminer le signe d'une expression

7 Résoudre des équations avec des valeurs absolues

8 Problème

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1
Calculer la valeur absolue d'un nombre

3
Transformer une expression

2
Utiliser la valeur absolue d'un nombre

4
Utiliser les variations d'une fonction

5
Résoudre des (in)équations

6
Déterminer le signe d'une expression

7
Résoudre des équations avec des valeurs absolues

8
Problème