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Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 2
Travailler ensemble
Les antennes paraboliques
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Une antenne parabolique est obtenue lorsqu'une parabole effectue une rotation de 360° selon son axe de symétrie. Ce choix s'explique par une propriété géométrique des paraboles.
\mathcal { P } est la parabole d'équation y = mx^2 avec m \neq 0 .
On considère le point \text{A} de \mathcal { P } d'abscisse a où a est un réel. d est la droite d'équation x = a .
\mathcal { P } est la parabole d'équation y = mx^2 avec m \neq 0 .
On considère le point \text{A} de \mathcal { P } d'abscisse a où a est un réel. d est la droite d'équation x = a .
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Partie 1
1. Sur une feuille de papier millimétrée ou avec GeoGebra, construire la parabole \mathcal { P } sur l'intervalle
[ - 5 \: ; 5 ].
GeoGebra
2. Tracer les droites :
a. d avec a = -1 et \text{T} la droite d'équation y = 2amx -ma^2 , appelée tangente à \mathcal { P } en \text{A} \: ;
b. \Delta perpendiculaire à \text{T} passant par \text{A} \: ;
c. d ^ { \: \prime } symétrique de d par rapport à la droite \Delta.
3. Recommencer la question précédente pour le cas a = 1 et a = 3 .
4. Quelle conjecture peut-on faire pour les droites d ^ { \: \prime } obtenues pour différentes valeurs de a ?
a. d avec a = -1 et \text{T} la droite d'équation y = 2amx -ma^2 , appelée tangente à \mathcal { P } en \text{A} \: ;
b. \Delta perpendiculaire à \text{T} passant par \text{A} \: ;
c. d ^ { \: \prime } symétrique de d par rapport à la droite \Delta.
3. Recommencer la question précédente pour le cas a = 1 et a = 3 .
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Partie 2
1. a. Avec le menu de calcul formel de GeoGebra, on obtient l'affichage suivant pour a = -2 .
Que calculent ces trois lignes de GeoGebra ?
b. Tracer la droite d'équation -0\text{,}6x - 0\text{,}8y = -0\text{,}4 .
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b. Tracer la droite d'équation -0\text{,}6x - 0\text{,}8y = -0\text{,}4 .
2. Pour le cas a = 2 , on obtient en dernière ligne l'équation -0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .
a. Tracer la droite d'équation -0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .
b. Résoudre le système :\left\{ \begin{array} { l } { - 0\text{,}6 x - 0\text{,}8 y = - 0\text{,}4 } \\ { - 0\text{,}6 x + 0\text{,}8 y = 0\text{,}4 } \end{array} \right.
c. Graphiquement, qu'obtient-on à la question précédente ?
a. Tracer la droite d'équation -0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .
c. Graphiquement, qu'obtient-on à la question précédente ?
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Partie 3
On note \text{T} la tangente à \mathcal { P } en \text{A.} \Delta est la droite
perpendiculaire à \text{T} passant par \text{A} et d ^ { \prime } est la symétrique de d par rapport à la droite \Delta.
1. Avec l'outil calcul formel de GeoGebra, on obtient l'affichage suivant.
Quelle droite a pour équation y = - a ^ { 2 } m + 2 a m x ?
2. Déterminer l'équation réduite de \Delta en utilisant la propriété suivante : « Deux droites perpendiculaires ont le produit de leur coefficient directeur égal à -1. »
On admettra pour la mise en commun que d ^ { \prime } a pour équation :
y = \dfrac { 1 - 4 m } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m } lorsque a = - 1 et y = \dfrac { 4 m - 1 } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m } lorsque a = 1.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. Déterminer l'équation réduite de \Delta en utilisant la propriété suivante : « Deux droites perpendiculaires ont le produit de leur coefficient directeur égal à -1. »
On admettra pour la mise en commun que d ^ { \prime } a pour équation :
y = \dfrac { 1 - 4 m } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m } lorsque a = - 1 et y = \dfrac { 4 m - 1 } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m } lorsque a = 1.
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Mise en commun
Une antenne parabolique est obtenue à partir de la parabole \mathcal { P } d'équation y = mx^2 .
Les signaux reçus arrivent de façon parallèle à l'axe de symétrie de \mathcal { P } et sont renvoyés symétriquement par rapport à la perpendiculaire à la tangente à \mathcal { P } en \text{A} (point d'impact).
Où placer le récepteur pour optimiser la réception des signaux pour m = 0\text{,}1 ? m = 0\text{,}5 ? m quelconque ?
Où placer le récepteur pour optimiser la réception des signaux pour m = 0\text{,}1 ? m = 0\text{,}5 ? m quelconque ?
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