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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 2
Activité
Fonctions de référence
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ALa valeur absolue dans tous ses états
Objectif : Découvrir la fonction valeur absolue par différentes approches et en déduire une étude qualitative.
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En classe de seconde, la valeur absolue d'un nombre réel x, notée | x |, a été définie comme la distance entre l'origine \text{O} sur la droite des réels
et le point \text{M} d'abscisse x .
Partons désormais à la découverte de la fonction valeur absolue f définie sur \R par f(x) = | x |.
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1
Déterminer la valeur exacte de | - 3 | , | \pi | et | 3 \sqrt { 2 } - 5 |.
2
Voici la courbe représentative, dans un repère orthonormé du plan, de la fonction f .
Le zoom est accessible dans la version Premium.
a) Déterminer l'expression de f en fonction de x lorsque x \leqslant 0 .
b) Déterminer l'expression de f en fonction de x lorsque x \geqslant 0 .
Remarque
On vient donc de déterminer l'expression de la fonction valeur absolue en fonction de x sur les intervalles ] - \infty \: ; 0 ] et [ 0 \: ; + \infty [. On dit que la fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux.3
Écrire un algorithme en langage naturel, puis en Python, permettant de calculer la valeur absolue de x selon son signe.
4
En utilisant le graphique ci-dessus :
a) dresser le tableau de variations de la fonction valeur absolue f ;
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
b) donner l'extremum de f sur \mathbb { R } ;
c) dire si f est paire ou impaire.
5
On définit les fonctions g et h par g ( x ) = x ^ { 2 } et h ( x ) = \sqrt { x }.
a) Déterminer les ensembles de définition des fonctions g et h .
b) On remarque que : g [ h ( 3 ) ] = g ( \sqrt { 3 } ) = ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } = 3. Écrire de façon simple l'expression de g [ h ( x ) ]. Pour quelle valeur de x cette expression existe-t-elle ?
c) Écrire l'expression de h [ g ( x ) ] en précisant les valeurs de x pour lequelles elle existe.
Remarque
La fonction x \mapsto g [ h ( x ) ] est appelée fonction composée de h suivie de g , notée g \circ h, soit ( g \circ h ) ( x ) = g [ h ( x ) ].Ressource affichée de l'autre côté.
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Bilan Quelles sont les propriétés de la fonction valeur absolue ?
Bilan
Quelles sont les propriétés de la fonction valeur absolue ?
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L'économiste étudie les richesses à l'échelle de la société. Son étude peut porter sur la macro ou la microéconomie ou bien encore sur le marché du travail. Elle peut concerner différentes variantes
de l'économie : financière, monétaire, environnementale, institutionnelle, etc.
Lorsque l'économiste étudie les biens de consommation, il/elle prend en compte l'élasticité \text{E} de ce bien pour savoir si | \text{E} | \lt 1 ou | \text{E} | \gt 1 . Par
ailleurs, l'économiste peut avoir besoin de calculer un écart moyen \text{E}_m en statistique, différent de l'écart-type : \mathrm { E } _ { m } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| x _ { i } - \overline { x } \right|.
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BÀ la découverte des jets d'eau d'une fontaine
Objectif : Découvrir et utiliser les différentes expressions des fonctions polynômes du second degré.
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Dans le parc du château de Versailles, on peut admirer une des fontaines du Bosquet des Trois‑Fontaines.
On peut observer que ses jets forment des paraboles.
Afin de construire le bassin adéquat et éviter d'arroser le public flânant dans le jardin, partons à la découverte des paraboles.
À l'aide de GeoGebra, découvrons les expressions d'une fonction polynôme du second degré et leurs liens avec le graphique.
On peut observer que ses jets forment des paraboles.
Afin de construire le bassin adéquat et éviter d'arroser le public flânant dans le jardin, partons à la découverte des paraboles.
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1
Créer sept curseurs a, b, c, \alpha, \beta, x _ { 1 } et x _ { 2 } allant de –5 à 5 avec un pas de 0\text{,}1.
Aide
Utiliser le bouton
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GeoGebra
2
a) Créer la fonction f d'expression développée f(x) = ax^2 + bx + c.b) Si a = 0, quelle est la nature de f ?
c) Faire varier a, b et c et noter l'influence de chaque paramètre sur la parabole.
d) Quelle valeur parmi a, b et c peut-on déterminer directement par lecture graphique ?
3
a) Créer la fonction g d'expression canonique g ( x ) = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.b) Faire varier \alpha et \beta et noter l'influence de chaque paramètre sur la parabole.
c) Comment retrouver \alpha et \beta sur le graphique ?
4
a) Créer la fonction h d'expression factorisée h ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right).b) Faire varier x _ { 1 } et x _ { 2 } et noter l'influence de chaque paramètre sur la parabole.
c) Comment retrouver x _ { 1 } et x _ { 2 } sur le graphique ?
5
Revenons à la fontaine. Répondre aux questions suivantes
en utilisant la modélisation ci-dessus.
a) Quel est le signe de a ?
b) On donne c = -3\text{,}5 et x _ { 2 } \approx 9\text{,}4. Donner une interprétation graphique.
c) Déterminer \alpha , \beta et x _ { 1 }.
d) Le point \text{S} de coordonnées (\alpha \: ; \beta) correspond à une particularité de la parabole. Laquelle ?
e) À quoi correspondent x _ { 1 } et x _ { 2 } pour le jet ?
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Bilan Quelle est la hauteur maximale du jet ? L'unité étant le mètre, quel devrait être le diamètre minimal du bassin pour que ce jet n'arrose pas les promeneurs ?
Bilan
Quelle est la hauteur maximale du jet ? L'unité étant le mètre, quel devrait être le diamètre minimal du bassin pour que ce jet n'arrose pas les promeneurs ?
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